Exercícios Resolvidos de Série alternada

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2015.1, Questão 1b

b) Diga se a série abaixo converge ou diverge.

n = 1 - 1 n n 2 e - n  

Passo 1

b)Para determinar que a série converge vamos usar o teste das séries alternadas. Primeiro vamos ver que

b n = n 2 e - n

Onde b n é o termo geral da nossa série.

Para ver se a série converge temos que verificar duas coisas:

  1. b n é decrescente
  2. lim n b n = 0 .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, vamos começar pelo começo:

Quero mostrar que b n é decrescente, para isso vamos fazer

f n = b n

Assim

f x = x 2 e - x = x 2 e x

Agora podemos ver se essa f x é decrescente, se ela for a nossa série também vai ser.

Para isso temos que olhar o sinal de f ' x

f ' x = 2 x e x - e x x 2 e 2 x

f ' x = e x 2 x - x 2 e 2 x

f ' x = 2 x - x 2 e x

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal de f ' x

f ' x = 2 x - x 2 e x

O denominador é positivo independentemente do valor de x , no numerador temos uma função de 2 º grau, com a < 0 , assim depois da segunda raiz ele vai ser negativo, assim

f ' x < 0

E isso garante que b n é decrescente.

Passo 4

Para mostrar a segunda condição só temos que calcular o limite

lim n n 2 e - n .

Bom,

lim n n 2 e - n = lim n n 2 e n =

Isso é uma indeterminação, vamos usar L’Hopital

lim n n 2 e n = lim n 2 n e n =

Continuou dando indeterminação, vamos usar L’Hopital de novo

lim n 2 n e n = lim n 2 e n = 2 = 0

Portanto temos que a série converge.

Resposta

A série Converge

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