Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2018.1, Questão 1a

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo:

n = 1 - 1 n + 1 n 2 n 3 + 1

Passo 1

Olha só para a nossa série, ela tem o termo - 1 n + 1 , então temos aqui de cara uma série alternada. Assim já temos a deixa para usar o teste da série da alternada para verificar a convergência.

Podemos escrever nossa série da forma:

n = 1 - 1 n + 1 n 2 n 3 + 1 = n = 1 - 1 n + 1 b n

Sendo, por comparação: b n = n 2 n 3 + 1

E, pelo teste da série alternada, se b n satisfazer as condições: b n + 1 < b n   ( d e s c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   n )

lim n b n = 0

Então, teremos que a série associada vai convergir. Vamos fazer essa verificação então.

Para verificar a primeira condição, vemos que podemos associar b n a uma função em R :

b n = n 2 n 3 + 1 f x = x 2 x 3 + 1

Sendo esta função f : 1 , R , ou seja, uma função que 1 , para R .

Esse 1 , vem justamente do fato de termos n 0 = 1 na série, ok? Show. Com essa função podemos analisar o comportamento da derivada e verificar se é crescente ou decrescente.

Derivando usando a regra do quociente, vamos ter: f ' x = x 2 ' x 3 + 1 - x 2 x 3 + 1 ' x 3 + 1 2 = 2 x x 3 + 1 - x 2 3 x 2 x 3 + 1 2

f ' x = 2 x 4 + 2 x - 3 x 4 x 3 + 1 2 = 2 x - x 4 x 3 + 1 2 = x 2 - x 3 x 3 + 1 2

Observando essa função, vemos que:

x > 0 ,   x 1

x 3 + 1 2 > 0 ,   x 1

2 - x 3 < 0 ,   x 2

Ou seja, garantimos apenas que:

f ' x < 0 ,   x 2

E portanto, decrescente para n 2 . O x = 1 que é equivalente a n = 1 ficou de fora ☹

Mas calma, o que temos no momento é:

b n + 1 < b n   ( d e s c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   n 2 )

Para termos:

b n + 1 < b n   d e s c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   n

Verificamos se:

b 2 < b 1

Para isso, substituímos: b 1 = 1 2 1 3 + 1 = 1 2

b 2 = 2 2 2 3 + 1 = 4 9

De fato, temos: 4 9 < 1 2

Logo, garantimos também b 2 < b 1

E, portanto,

b n + 1 < b n   d e s c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   n

Uma condição já foi, resta saber se

lim n b n = 0

Então temos que verificar se: lim n n 2 n 3 + 1 = 0  

Temos uma razão de polinômios tendendo para infinito. Então dividimos tudo pelo polinômio de maior grau:

lim n n 2 n 3 + 1 ÷ n 3 ÷ n 3 = lim n n 2 n 3 n 3 n 3 + 1 n 3 = l i m n 1 n 1 + 1 n 3

Agora podemos jogar o limite para dentro da fração: l i m n 1 n 1 + 1 n 3 = l i m n 1 n 1 + l i m n 1 n 3 = 0 1 + 0 = 0

Então a segunda condição também é satisfeita e temos que a série é convergente pelo teste da série alternada!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos verificar agora se a série é absolutamente convergente, ou seja, se

n = 1 - 1 n + 1 n 2 n 3 + 1 = n = 1 n 2 n 3 + 1

é convergente. Para isso, vamos estudar alguma série para realizar a comparação. Antes disso, vamos olhar para o nosso termo: n 2 n 3 + 1

Repara que a diferença entre os graus é 1 . A série fundamental com essa relação é a série harmônica:

n = 1 1 n

Que é uma série que diverge. Assim, como a nossa série absoluta segue um padrão de crescimento bem próximo da série harmônica que diverge, é de se esperar que a nossa série vá divergir também.

É claro que precisamos expressar essa ideia matematicamente, mas já temos um bom ponto de partida. Vamos comparar com a série harmônica!

Fazer o teste da comparação normal não vai nos levar muito longe, pois a série harmônica diverge e só conseguimos mostrar facilmente que o termo da série absoluta é menor que o termo da série harmônica.

Então, pode ser uma boa usar o teste da comparação no limite que diz que para duas séries de termos positivos (nosso caso) n = 1 a n , n = 1 b n

  Se:

lim n a n b n = L

Sendo L um número finito, então as duas séries divergem ou convergem juntas. Legal, então vamos aplicar esse teste aí. Temos os nossos dois termos: a n = 1 n

b n = n 2 n 3 + 1

Aplicando o limite: lim n a n b n = lim n 1 n n 2 n 3 + 1 = l i m n 1 n n 3 + 1 n 2 = l i m n n 3 + 1 n 3 = l i m n 1 + 1 n 3 = 1

1 é um número finito e sabemos que a série harmônica associada ao termo a n diverge, então temos que

n = 1 n 2 n 3 + 1

irá divergir. Com isso, temos que a série

n = 1 - 1 n + 1 n 2 n 3 + 1

É convergente, mas não é absolutamente convergente. Ou seja, trata-se de uma série parcialmente convergente. 😊

Resposta

n = 1 - 1 n + 1 n 2 n 3 + 1

Parcialmente convergente.

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