Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFRJ, Cálculo 4, PF - 2018.1, Questão 1c

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo.

m = 1 1 m sen - 1 m m

Passo 1

Uma sacada muito importante aqui nessa questão é lembrar que:

sen - x = - sen x

Assim, vamos ter que: sen - 1 m m = - 1 m sen 1 m

Então na verdade vamos ter uma série alternada:

m = 1 - 1 m m sen 1 m

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Passo 2

Agora que conseguimos escrever a nossa série na forma de uma série alternada, podemos testar a convergência condicional por meio do teste da série alternada. Consideramos a série na forma:

m = 1 - 1 m m sen 1 m = m = 1 - 1 m b n

Ou seja,

b m = 1 m sen 1 m

Vamos começar verificando b m + 1 < b m . Para isso, definimos a função f : 1 , com:

f x = 1 x sen 1 x

Só trocando ali o m por um x real. Vamos olhar para a função no domínio que queremos. Para 1 , , como o denominador vai crescendo e o numerador é constante

1 x

é decrescente. Além disso, para x = 1 , temos:

sen 1 0 < 1 < π 2

E para outros valores, como x = 2 :

sen 1 2 0 < 1 2 < π 2

Ou seja, o seno sempre está no primeiro quadrante se aproximando de zero para o domínio em questão. Assim, teremos que

sen 1 x

será descrente também. Portanto:

f x = 1 x sen 1 x

é decrescente e temos: b m + 1 < b m

Show. Um critério já foi.

Passo 3

Agora vamos para

l i m m b m = 0

Para isso, testamos:

lim x f x = l i m x 1 x sen 1 x

Pela natureza do nosso amigo seno: - 1 sen 1 x 1

- 1 x 1 x sen 1 x 1 x

- l i m x 1 x l i m x 1 x sen 1 x l i m x 1 x

0 l i m x 1 x sen 1 x 0

Assim, pelo teorema do confronto, ou sanduíche para os íntimos:

l i m x 1 x sen 1 x = 0

Portanto, teremos:

l i m m b m = 0

Passo 4

Show, agora precisamos testar a convergência absoluta. Lembrando que uma série a n converge absolutamente se a n converge. Então a nossa série vai convergir absolutamente se a série:

m = 1 1 m sen 1 m

Convergir. Mas essa série não converge! Vamos ver por quê.

Passo 5

Vamos fazer o teste da comparação no limite. Vou usar a série alternada b n = 1 / m :

lim m a n b n = lim m 1 m sen 1 m 1 / m

lim m a n b n = lim m m m sen 1 m = lim m m m m sen 1 m

lim m a n b n = lim m m sen 1 m = lim m sen 1 m 1 m

Vou fazer a substituição: 1 m = u . Assim, quando m vai pra infinito u vai pra zero. Então:

lim m a n b n = lim u 0 sen u u

Como temos 0 0 podemos usar L’Hospital:

lim m a n b n = lim u 0 sen u u = lim u 0 cos u 1 = 1

Como o limite deu igual a 1, que é maior que zero, as duas séries vão se comportar do mesmo modo.

Portanto, nossa série é condicionalmente convergente.

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