Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo.

∑ m = 1 ∞ - 1 m m 3 m 5 + 1

Passo 1

Aqui temos uma série alternada com razão de polinômios cuja diferença entre o grau do denominador para o grau do numerador dá 2 .

Assim, podemos comparar a série absoluta correspondente

∑ m = 1 ∞ - 1 m m 3 m 5 + 1 = ∑ m = 1 ∞ m 3 m 5 + 1

com a p - série com m = 2 :

∑ m = 1 ∞ 1 m 2

Para fazer esta comparação, usamos o teste da comparação no limite:

lim m → ∞ ⁡ m 3 m 5 + 1 1 m 2 = l i m m → ∞ m 5 m 5 + 1

Dividimos pelo polinômio de maior grau: l i m m → ∞ m 5 m 5 + 1 = l i m m → ∞ m 5 m 5 m 5 m 5 + 1 m 5 = l i m m → ∞ 1 1 + 1 m 5 = 1 1 + 0 = 1

Como o limite deu um número então as duas séries convergem ou divergem. A p -série que usamos é convergente, portanto

∑ m = 1 ∞ m 3 m 5 + 1

converge. Assim, a série

∑ m = 1 ∞ - 1 m m 3 m 5 + 1

converge absolutamente e, consequentemente, converge condicionalmente também.

Resposta

∑ m = 1 ∞ - 1 m m 3 m 5 + 1

converge absolutamente.

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