Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2016.1, Questão 1b

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

m = 1 - 1 m m m 4 + 1

Passo 1

Ele quer a convergência dessa série, a primeira coisa que vamos fazer é analisar a convergência absoluta dessa série. Ou seja, temos que analisar

n = 1 - 1 n n n 4 + 1 = n = 1 n n 4 + 1

Bem, olhando para essa série, vamos utilizar a comparação no limite. Temos:

b n = 1 n

Aplicando o teste:

lim n a n b n = lim n n n 4 + 1 n = 1

Logo essas séries convergem juntas ou divergem juntas. Como a 1 n diverge, temos que a série não converge absolutamente.

Devemos agora testar a convergência condicional.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos utilizar o critério de Leibniz para ver se a série converge condicionalmente.

Primeiro podemos ver que o termo geral vai a zero, pois:

lim n n n 4 + 1 =   lim n n n 2 1 + 1 n 4 = lim n 1 n 1 + 1 n 4 = 0

Além disso, como temos um n 2 em baixo e um n em cima, chegamos à conclusão que o denominador cresce mais rápido, então a série é decrescente! Logo, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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