Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2018.2, Questão 1a

Questão 1:

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

a )     m = 1 - 1 m m 4 + 3 m 4

Passo 1

Uma série alternada, talvez seja útil verificar quanto à convergência utilizando o Teste da série alternada:

Esse teste fala o seguinte:

  1. Primeiro ele considera como termo da série alternada apenas esse c m aqui:
  2. c m = m 4 + 3 m 4

  3. “Se esse termo é decrescente e vai a 0 no infinito, então ela converge”.

Então, basicamente temos que verifica se esse termo decresce e vai à zero no infinito! Venha comigo

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Passo 2

Para testar o limite desse termo da série alternada no infinito, para saber se de fato isso vai a 0 , a gente pode aplicar limite:

lim m c m = lim m m 4 + 3 m 4 =

Se a gente dividir em cima e em baixo por m ...

lim m m m 4 + 3 m 4 m = lim m 1 4 + 3 m 4 m 2 =

lim m 1 4 m 2 + 3 m 4 m 2 = lim m 1 4 m 2 + 3 m 2 =

Quando m vai ao infinito, 4 / m 2 vai a 0 :

lim m 1 4 m 2 + 3 m 2 = lim m 1 3 m 2 = 0

Então de fato esse cara vai a zero como a gente precisa!

Passo 3

Agora precisamos saber se essa sequência c m é decrescente! Ora os termos de c m são todos positivos:

c m = m 4 + 3 m 4

Pois m é positivo. Se uma função é positiva e vai a 0 no infinito, então ela é decrescente! Uma forma de ver isso é um gráfico:

Sacou?

Então, pelo teste da série alternada, essa série:

m = 1 - 1 m m 4 + 3 m 4

Converge!

Passo 4

Não pensou que tinha acabado, neh? Então, acabemos de ver que a série converge, mas será que ela converge absolutamente?

Então, para testar isso a gente tem que ver se essa série aqui converge:

m = 1 - 1 m m 4 + 3 m 4 =

m = 1 m 4 + 3 m 4 =

Como m 4 + 3 m 4 é termo positivo...

m = 1 m 4 + 3 m 4

Venha comigo então testar essa prima da série alternada!

Passo 5

Pois então, para estudar essa série, eu não sei você, mas estou pressentindo que ela diverge. Mas de onde eu tirei esse feeling? Será que virei mãe ganhei um sexto sentido? (rsrsrs )

Na verdade não, se você perceber tem uma espécie de m / m 4 e dentro de um somatório é a série harmônica:

m = 1 m m 4 = m = 1 m m 2 =

m = 1 1 m

E como essa série diverge, é bem razoável pensar que essa série daqui diverge também:

m = 1 m 4 + 3 m 4

Uma forma de verificar é comparar essas duas séries de uma maneira mais formal sem precisar recorrer ao sexto sentido de mãe: podemos verificar com o teste da comparação no limite. Vamos nessa?

Passo 6

Nesse teste, de acordo com a teoria, basicamente devemos pegar o termo geral da série testada e comparar (dividir) com o termo geral da série de teste no limite, dessa forma aqui:

lim m m 4 + 3 m 4 / 1 m

Onde m 4 + 3 m 4 é o termo da série testada e 1 / m , da série de teste. Se esse limite der um número, então, assim como a série harmônica, a série que estamos testando deve divergir, entende? Então vejamos:

lim m m 4 + 3 m 4 / 1 m = lim m m 2 4 + 3 m 4 =

Se dividirmos em cima e em baixo por m 2 ...

lim m m 2 m 2 4 + 3 m 4 m 2 = lim m 1 4 + 3 m 4 m 4 =

lim m 1 4 m 4 + 3 m 4 m 4 = lim m 1 4 m 4 + 3 =

Quando m vai ao infinito, a fração vai a zero e, portanto:

lim m 1 4 m 4 + 3 = 1 3

Conclusão, se o limite foi a um número real, então a série testada diverge!

m = 1 m 4 + 3 m 4

Passo 7

Resumindo, o que encontramos com esse exercício foi isso aqui:

  m = 1 - 1 m m 4 + 3 m 4

Essa série converge. Contudo, a série de termos absolutos:

m = 1 - 1 m m 4 + 3 m 4

Diverge! Então a série

  m = 1 - 1 m m 4 + 3 m 4

só pode ser Condicionalmente Convergente!

Resposta

Condicionalmente Convergente

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