Exercícios Resolvidos de Série alternada

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 677, exercício 11

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

n = 1 - 1 n + 1 n 2 n 3 + 4

Passo 1

Como ele só pede para testar a convergência da série, não precisamos ficar pensando se ela será condicionamento ou absolutamente convergente.

Como temos o termo - 1 n + 1 sabemos que é uma série alternada com

b n = n 2 n 3 + 4

Então, partiu usar o teste das séries alternadas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como ver se b n = n 2 n 3 + 4 é decrescente? Não podemos afirmar isso de cara, temos que calcular sua derivada e ver se ela é negativa. Sendo

f x = x 2 x 3 + 4

Temos f n = a n

f ' x = 2 x x 3 + 4 - x 2 ( 3 x 2 ) x 3 + 4 2 = 2 x 4 + 8 x - 3 x 4 x 3 + 4 2 = x ( 8 - x 3 ) x 3 + 4 2

Como estamos considerando apenas a parte onde x é positivo, sabemos que f ' x < 0 quando :

8 - x 3 < 0

x > 2

Portanto, sabemos que em ( 2 ,   ) , a função acima é decrescente. Agora precisamos checar se b n tende a zero.

lim n n 2 n 3 + 4   = lim n n 3 ( 1 / n ) n 3 ( 1 + 4 / n 3 )   = lim n ( 1 / n ) ( 1 + 4 / n 3 )   = 0

Logo, pelo Teste das séries alternadas, a série converge.

Resposta

A série converge.

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