Exercícios Resolvidos de Série alternada

UNICAMP, Cálculo 3, P2 - 2012.1 - Noturno, Questão 5c

( c )   Verifique se a série converge condicionalmente, absolutamente ou diverge:

k = 1 - 1 k k ! 2 k !

Passo 1

Para verificarmos a convergência da série

k = 1 - 1 k k ! 2 k !

vamos usar o Teste da Razão. Como a k = - 1 k k ! 2 k ! , temos

L = lim k a k + 1 a k

L = lim k - 1 k + 1 ( k + 1 ) ! 2 k + 1 ! - 1 k k ! 2 k !

L = lim k ( k + 1 ) ! 2 k + 1 !   2 k ! k !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Escreva k + 1 ! = k + 1 . k ! e 2 k + 1 ! = 2 k + 2 ! = 2 k + 2 . 2 k + 1 . 2 k ! para obter:

L = lim k k + 1 . k ! 2 k + 2 . 2 k + 1 . 2 k !   2 k ! k !

L = lim k k + 1 2 k + 2 . ( 2 k + 1 )  

L = lim k k + 1 4 k 2 + 6 k + 2

Passo 3

Vamos dividir numerador e denominador pela maior potência de k ( k 2 ) :

L = lim k 1 4 k 2 ( k + 1 ) 1 4 k 2 4 k 2 + 6 k + 2

L = lim k 1 4 k + 1 4 k 2 1 + 3 2 k + 1 2 k 2

L = 0 + 0 1 + 0 + 0 = 0

Como L = 0 < 1 , verificamos que a série é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente.

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