Considere a superfície S : z = 6 - x 2 - y 2 ,   0 ≤ z ≤ 4 .

  1. Esboce a superfície S .
  2. Parametrize a superfície S .
  3. Determine o vetor normal unitário no ponto 0 ,   2 ,   2 que aponta para cima.
  4. Calcule a área de S .

Passo 1

  1. Muito bem, antes de baixar o nosso Pablo Picasso interior e desenhar essa superfície, vamos começar entendendo quem os elementos dessa superfície.
  2. O primeiro deles é z = 6 - x 2 - y 2 . Essa equação nos representa um paraboloide, como x e y estão negativos, nos sugere que é um paraboloide com a boca para baixo, dessa forma aqui:

    Esse ponto onde o paraboloide aí toca o eixo z é quando x   e   y são 0 , então z = 6 - 0 2 - 0 2 , ou seja z = 6 , pegou a ideia?

    Bem, mas não queremos o paraboloide todo. Queremos apenas o que obedece a essa outra condição aqui: 0 ≤ z ≤ 4 .

    z ≥ 0 indica que a gente quer a parte do paraboloide acima do plano X Y , mas e esse z ≤ 4 ?

    Se você se lembrar, z = 4 é um plano paralelo ao X Y que passa por z = 4 . Esse Plano está cortando o paraboloide em duas partes

    A superfície S que queremos é justamente essa parte abaixo do plano. :D

    Passo 2

  3. Bem, como já temos aqui uma função bem comportada em termos de outros dois termos, z = 6 - x 2 - y 2 , podemos então pensar em uma parametrização explícita, se lembra?
  4. Nessa parametrização, a gente chama

    x = u

    y = v

    E então...

    z = 6 - x 2 - y 2         ⇒             z = 6 - u 2 - v 2

    A parametrização então ficará

    σ u ,   v = u ,   v ,   6 - u 2 - v 2

    Beleza?:)

    Mas tem um detalhe! Toda parametrização precisamos determinar qual é a variação de dos novos parâmetros, o que no caso é u e v . Bora lá?

    Passo 3

    Bem, como u e v variam em cima de x e y , é legal a gente olhar para a projeção da superfície no plano X Y . Assim seremos capazes de descrever a região onde u e v varia, percebeu?

    Fazendo a projeção no plano X Y , teremos:

    Repare que x e y variam nesse anel circular, logo u e v também variará!

    Passo 4

    Pra encontrar os limites desse anel, lembre-se que esse raio menor foi determinado pelo corte do plano z = 4 , logo como z = 6 - u 2 - v 2 , teremos

    4 = 6 - u 2 + v 2     ⇒         - u 2 + v 2 = - 2  

    u 2 + v 2 = 2

    Esse representa o raio inferior, para encontrar o superior do anel, utilizamos a equação do outro plano que delimita a superfície, z = 0 , ou seja:

    0 = 6 - u 2 + v 2           ⇒             - u 2 + v 2 = - 6

    u 2 + v 2 = 6

    Logo, u e v variam nessa região que chamaremos de D , entre essas duas circunferências de raio 2 e 6

    D :     2 2 ≤ u 2 + v 2 ≤ 6 2

    Passo 5

  5. Vamos começar encontrando os vetores normais a superfície S , N → ( u ,   v ) .
  6. Como parametrizamos na forma explicita z = z u ,   v = 6 - u 2 - v 2 podemos aplicar o bizu de vetor normal dessa forma aqui

    N → u ,   v = - ∂ z ∂ u ,   - ∂ z ∂ v ,   1

    Calculando as derivadas parciais...

    N → u ,   v = - - 2 u ,   - - 2 v ,   1     ⇒

    Obteremos

    N → u ,   v = 2 u ,   2 v ,   1

    Passo 6

    Bem, aplicando o vetor normal no ponto pedido x ,   y ,   z = 0 ,   2 ,   2 , como x = u e y = v , basta substituir u = 0 e v = 2 ...

    N → 0 ,   2 = 2 ∙ 0 ,   2 ∙ 2 ,   1     ⇒

    N → 0 ,   2 = 0 ,   4 ,   1

    Agora, calculando o vetor unitário pela fórmula...

    n → = N → N →

    Onde o N → é a norma desse vetor e vale a raiz das soma dos termos ao quadrado do vetor

    N → = 0 2 + 4 2 + 1 2     ⇒

    N → = 17

    Ou seja

    n → = 1 17 0 ,   4 ,   1

    Multiplicando cada uma dessas entradas por essa constante 1 17

    n → 0 ,   2 = 0 , 4 17 , 1 17

    Passo 7

  7. Então, calcular a área de uma superfície Á r e a ( S ) para a gente é calcular uma integral de superfície...

Á r e a S = ∬ S   d S

Lembrando que d S = N → d u d v , podemos trocar a integral de superfície, peal integral dupla:

Á r e a S = ∬ D   N → u ,   v d u d v

O vetor N → u ,   v = 2 u ,   2 v ,   1 já foi encontrado e como já vimos, podemos encontrar N → u ,   v assim:

N → u ,   v = 2 u 2 + 2 v 2 + 1 2

N → u ,   v = 1 + 4 u 2 + 4 v 2

Colocando em evidência...

N → u ,   v = 1 + 4 u 2 + v 2

Passo 2

Bem, substituindo agora na integral dupla

Á r e a S = ∬ D   1 + 4 u 2 + v 2   d u d v

e lembrando que a região D de integração é aquele anel, podemos fazer uma mudança para coordenadas polares...

u = r cos ⁡ θ

v = r sin ⁡ θ

J = r

Uma equação que nos ajuda muito aqui é a do círculo:

u 2 + v 2 = r 2

Onde o raio, a gente viu que varia do menor 2 até o maior raio 6 que a gente já determinou no passo 4, se lembra?:)

E o ângulo theta, bem... ele dar uma volta completa, logo

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Substituindo na integral que devemos calcular

∬ D   1 + 4 u 2 + v 2   d u d v = ∬ D   1 + 4 r 2 ∙ J   d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 2 6 1 + 4 r 2 ∙ r   d r d θ

Resolvendo primeiro a integral de dentro fazendo uma substituição simples

1 + 4 r 2 = a

d a = 8 r d r         ⇒           r d r = d a 8

Não se esqueça de mudar os limites também, hem!

r = 2         ⇒                 a = 1 + 4 ∙ 2 = 9

r = 6         ⇒             a = 1 + 4 ∙ 6 = 25

Teremos

∫ 0 2 π ∫ 2 6 1 + 4 r 2 ∙ r   d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 9 25 a ∙   d a 8 d θ

Integrando em a passando essa constante pro lado de fora da integral

1 8 ∫ 0 2 π 2 3 a 3 2 9 25 d θ = 1 8 ∫ 0 2 π 2 3 a 3 9 25 d θ =

1 8 ∫ 0 2 π 2 3 a a 9 25 d θ =

Substituindo os limites de integração

1 8 ∫ 0 2 π 2 3 25 25 - 2 3 9 9 d θ =

1 8 ∫ 0 2 π 2 3 25 ∙ 5 - 2 3 9 ∙ 3 d θ =

Colocando o termo 2 3 em evidência e passando para fora da integral

1 8 ∫ 0 2 π 2 3 125 - 27 d θ = 2 24 ∫ 0 2 π 98   d θ =

Passando para fora o 98 e integrando em θ

1 12 ∙ 98 ∫ 0 2 π   d θ = 98 12 θ 0 2 π =

98 12 ∙ 2 π = 49 3 π

Resposta

a)

b) σ u ,   v = u ,   v ,   6 - u 2 - v 2

c) 0 , 4 17 , 1 17

d) Á r e a S = 49 3 π

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