Seja S parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , com z ≥ x 2 + y 2 . Calcule a massa de S sendo δ x , y , z = x 2 + y 2

Passo 1

Cálculo de massa, né? Já vimos que, para achar a massa de uma superfície vamos precisar fazer a integral de superfície dela assim:

M = ∬ S δ ( u , v ) d S

Onde δ ( u , v ) já é escrito com as variáveis da superfície parametrizada. Portanto, vamos precisar achar essa parametrização da nossa superfície e calcular o módulo da sua normal. Vamos lá?

Veja que o enunciado diz que a nossa superfície é “parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 ”, que é uma esfera de raio 2 centralizada na origem, nossa parametrização vai ficar assim:

x = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

y = 2 sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = 2 cos ⁡ ϕ

Só que não queremos nossa esfera inteira, vamos ter que limitar ϕ , o enunciado também diz que:

z ≥ x 2 + y 2

2 cos ⁡ ϕ ≥ 4 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ + 4 sen 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ

2 cos ⁡ ϕ ≥ 2 sen ⁡ ϕ

cos ⁡ ϕ ≥ sen ⁡ ϕ

Essa restrição acontece somente no intervalo

0 ≤ ϕ ≤ π 4

O ângulo θ não possui nenhuma restrição, podemos dizer então que

0 ≤ θ ≤ 2 π

Obs: Outra forma de se obter esses limites é graficamente, nesse caso o esboço seria a superfície da esfera limitada pelo cone z = x 2 + y 2

O cone z = x 2 + y 2 é o limite de ϕ = π / 4 , com isso da para dizer que os nossos limites são:

0 ≤ ϕ ≤ π 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Definida nossa parametrização e nossos limites, vamos ao cálculo do módulo da normal da superfície:

φ u , v = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 2 sen ⁡ θ s e n   ϕ , 2 cos ⁡ ϕ

∂ φ ∂ θ = - 2 sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 2 cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 0

∂ φ ∂ ϕ = ( 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ , 2 sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ ,   - 2 sen ⁡ ϕ )

N → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ ϕ = i j k - 2 sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 0 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ   - 2 sen ⁡ ϕ

N → = ( - 4 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , - 4 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , - 4 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ )

N → = 16 cos 2 ⁡ θ sen 4 ⁡ ϕ + 16 sen 2 ⁡ θ sen 4 ⁡ ϕ + 16 cos 2 ⁡ ϕ sen 2 ⁡ ϕ

N → = 4 sen 4 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ sen 2 ⁡ ϕ

= 4 sen 2 ⁡ ϕ sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

N → = 4 sen ⁡ ϕ

Passo 3

Vamos substituir tudo na integral da massa então:

M = ∬ S δ θ , ϕ d S = ∬ S δ θ , ϕ . N → d θ d ϕ

Onde nossa densidade em função das novas variáveis fica:

δ x , y , z = x 2 + y 2

δ θ , ϕ = 4 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ + 4 sen 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ

δ θ , ϕ = 4 sen 2 ⁡ ϕ

Voltando para a integral e substituindo tudo:

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 4 sen 2 ⁡ ϕ 4 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

Passo 4

Vamos então calcular essa integral

M = 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sen 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Para integrar em ϕ , vamos fazer uma pequena modificação:

sen 3 ⁡ ϕ = sen 2 ⁡ ϕ . sen ⁡ ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ = sen ⁡ ϕ - cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ

Parece que a gente só complicou né? Mas você vai ver que assim a gente consegue integrar, antes, com seno ao cubo não conseguíamos. Voltando pra integral:

= 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n ϕ d ϕ d θ - 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

A primeira integral é bem simples né?

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π - cos ⁡ ϕ ϕ = 0 ϕ = π 4 d θ

= ∫ 0 2 π - 2 2 - 1 d θ = 2 π 1 - 2 2

Na segunda vamos fazer uma pequena alteração:

cos ⁡ ϕ = u

- sen ⁡ ϕ d ϕ = d u

- ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ ϕ = 0 ϕ = π 4 u 2 d u d θ

= ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ ϕ 3 ϕ = 0 ϕ = π 4 d θ

= 1 3 ∫ 0 2 π 2 2 3 - 1 d θ = 2 π 3 2 4 - 1

Juntando as duas:

16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n ϕ d ϕ d θ - 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

= 16 2 π 1 - 2 2 + 16 2 π 3 2 4 - 1 = 16 2 π - 2 π + 2 π 6 - 2 π 3

= 16 4 π 3 - 5 2 π 6 = 64 π 3 - 40 2 π 3 = 4 π 3 ( 16 - 10 2 )

Resposta

M = 4 π 3 ( 16 - 10 2 )

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