Exercícios Resolvidos de Continuidade

Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade

Considere a função:

f x , y = x 2 - x y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

a) Calcule o limite l i m x , y → 0,0   f x , y , ou mostre que ele não existe.

b) Calcule o limite l i m x , y → 1,1   f x , y , ou mostre que ele não existe.

c) A função f e contínua em 0,0 ? Justifique.

d) A função f e contínua em 1,1 ? Justifique.

Passo 1

a) Vamos lá! Partiu calcular esse limite! Veja que, se colocamos x , y = 0,0 , teremos 0 0 , que é uma indeterminação. Assim, antes de partir para qualquer teorema (Sanduíche, Anulamento...), podemos testar alguns caminhos para percorrer a função, afim de encontrar dois limites diferentes e provar que, na verdade, o limite não existe!

Como temos uma soma no numerador e no denominador, podemos escolher um caminho sobre um dos eixos coordenados que, a princípio não anularemos tudo de uma vez. Por exemplo, colocando t , 0 , teremos:

l i m x , y → 0,0 x 2 - x y x 2 + y 2 =

Colocando t onde tiver x , e 0 para y , teremos:

l i m t → 0 t 2 - t . 0 t 2 + 0 2 = t 2 t 2 = 1

Opa! Encontramos o limite igual a 1 , show?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos tentar encontrar um limite diferente de 1 ? Como temos x y no numerador, se optarmos pelo caminho t , t , teremos:

l i m t → 0 t 2 - t . t t 2 + t 2 = t 2 - t 2 2 t 2 = 0 2 t 2 = 0

E pronto! Acabamos de provar que o limite não existe, pois encontramos dois valores, 1 e 0 , para ele!

Passo 3

b) Vamos colocar agora x , y → 1,1 :

l i m x , y → 1,1 x 2 - x y x 2 + y 2 = 1 2 - 1.1 1 2 + 1 2 = 0

Como não temos nenhuma indeterminação, o limite existe e é iguala 0 !

Passo 4

c) Tá, agora é só interpretar o resultado que encontramos, né? Para uma função ser contínua, então o limite quando ela tende a algum ponto em questão deve ser igual ao valor que ela assume nesse ponto! Nossa função, então, não é contínua em x , y = 0,0 , pois o limite dela para quando tende a esse ponto não existe, logo, não pode ser igual ao valor que ela assume na origem!

Passo 5

d) Agora, temos um caso na qual o valor que a função assume é o mesmo do seu limite para o ponto! Claro, né? Só o que fizemos foi substituir o ponto 1,1 , não precisamos calcular limite nenhum! Então, sim, ela é contínua em 1,1 !

Resposta

a) O limite não existe

b) O limite existe e é igual a 0 .

c) A função não é contínua em x , y = 0,0 , pois o limite dela quando tende a esse ponto não existe, logo, não pode ser igual ao valor que ela assume na origem.

d) No ponto 1,1 a função é contínua pois o valor do limite quando ela tende a esse ponto é igual ao valor que ela assume nesse ponto.

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