Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

USP, P1 2014 A, questão 3b

Determine L para a função abaixo, caso exista, para que a função seja contínua em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2 ,   s e   x , y 0,0 L ,     s e   x , y = 0,0  

Passo 1

Para a função ser contínua na origem, é preciso que o limite quando ela tenda a origem exista e seja bem definido. Esse limite é exatamente o L que precisamos encontrar!

Então, o nosso problema é resolver:

lim x , y 0,0 x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2

E ver se ele existe!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Em limite de duas variáveis, é sempre bom começarmos pensando em fazer alguma substituição que, milagrosamente, resolverá a questão pra gente (mano, questão de limite não é pra ser difícil, ainda que algumas fujam à exceção).

Aí, teremos basicamente duas opções: A primeira, o limite existe, e é um número muito bem definido, que não depende das variáveis (normalmente é 0 ...). A segunda, encontraremos mais de um limite, fazendo diferentes substituições, e então, provaremos que ele não existe.

Nesse caso vamos observar que:

  1. O denominador tem dois termos somados, sendo que um deles é uma subtração x - y , o que nos sugere usar a substituição y = 0 , pois qualquer coisa subtraída de 0 não será anulada!
  2. O numerador e o denominador tem termos de mesmo grau, o que sugere usar a substituição y = x ou x = y , porque manteremos o grau, e poderemos cortar as variáveis em cima e embaixo pra chegar num valor bem definido.

Vamos fazer essas substituições e ver no que dá. Se encontrarmos o mesmo valor para L nas duas, ainda teremos que fazer outras substituições até provar que ele não existe, ou usar o teorema do sanduíche e provar que ele de fato existe.

Passo 3

Fazendo a substituição y = 0 teremos:

lim x , y 0,0 x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2

lim x , y 0,0 x 2 0 2 x 2 0 2 + x - 0 2 = 0 x 2 = 0

Beleza! Para essa substituição, nosso limite deu 0 . Mas isso não prova que L = 0 ...

Passo 4

Agora, fazendo a outra substituição, teremos:

lim x , y 0,0 x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2

Para x = y

lim x , y 0,0 y 2 y 2 y 2 y 2 + y - y 2

lim x , y 0,0 y 4 y 4 + 0 2 = 1

Novamente, encontramos um valor para L !

Mas perceba, esses valores são diferentes, para o primeiro caso, temos L = 0 , para o segundo, temos L = 1 ! Bom, isso é completamente inadmissível, não podemos ter dois limites para um mesmo ponto. Portanto, não existe L que faça a função ser contínua na origem :)

Resposta

Não existe L que faça a função ser contínua na origem.

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