Calcule as seguintes integrais iteradas

b ) ∫ 1 3 ∫ 0 π / 2 x s e n ( y ) d y d x

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa integral iterada aqui

∫ 1 3 ∫ 0 π / 2 x s e n ( y ) d y d x

A ordem de integração dada é

d y   d x

Então primeiro precisamos integrar a integral “mais de dentro”, ou seja, nesse caso d y ! Quando integramos em y , consideramos x constante, e vice-versa!

Então aqui atenção: vamos começar integrando em y , então aquele x fica quietinho! Beleza?

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar integrando em y

∫ 1 3 ∫ 0 π / 2 x s e n ( y ) d y d x = ∫ 1 3 ∫ 0 π / 2 s e n ( y ) d y x   d x = ∫ 1 3 - cos ⁡ y 0 π / 2 x   d x

Agora vamos aplicar nos limites de integração:

= ∫ 1 3 1 x   d x

Tudo bem até aqui? Para ter certeza de que está tudo bem, no momento em que você aplicou os limites em y não pode sobrar nenhuma variável y no integrando, viu? A partir de agora, nossa integral passa a ser só em x !

Passo 3

Integrando em x temos

∫ 1 3 1 x   d x = 1 x 2 2 1 3 = 1 2 9 - 1 = 4

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

4

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