Calcule as seguintes integrais iteradas

c ) ∫ 1 4 ∫ 0 4 u v   d u d v  

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa integral iterada aqui

∫ 1 4 ∫ 0 4 u v   d u d v  

A ordem de integração dada é

d u   d v

Então primeiro precisamos integrar a integral “mais de dentro”, ou seja, nesse caso d u ! Quando integramos em u , consideramos v constante, e vice-versa!

Então aqui atenção: vamos começar integrando em u , então aquele v fica quietinho! Beleza?

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar integrando em x

∫ 1 4 ∫ 0 4 u v   d u d v   = ∫ 1 4 ∫ 0 4 u   d u   v   d v = ∫ 1 4 2 3 u 3 0 4 v   d v

Agora vamos aplicar nos limites de integração:

= 2 3 ∫ 1 4 8   v   d v

Tudo bem até aqui? Para ter certeza de que está tudo bem, no momento em que você aplicou os limites em u não pode sobrar nenhuma variável u no integrando, viu? A partir de agora, nossa integral passa a ser só em v !

Passo 3

Integrando em y temos

16 3 ∫ 1 4   v   d v = 16 3 2 3 v 3 1 4 = 32 9 2 3 - 1 = 32 9 . 7 = 224 9

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

224 9

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