Calcule as seguintes integrais iteradas

d ) ∫ 1 ln ⁡ 5 ∫ 0 ln ⁡ 3 e x + y   d x   d y  

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa integral iterada aqui

∫ 1 ln ⁡ 5 ∫ 0 ln ⁡ 3 e x + y   d x   d y  

A ordem de integração dada é

d x   d y

Então primeiro precisamos integrar a integral “mais de dentro”, ou seja, nesse caso d x ! Quando integramos em x , consideramos y constante, e vice-versa!

Então aqui atenção: vamos começar integrando em x , então aquele y fica quietinho! Beleza?

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar integrando em x

∫ 1 ln ⁡ 5 ∫ 0 ln ⁡ 3 e x + y   d x   d y   = ∫ 1 ln ⁡ 5 ∫ 0 ln ⁡ 3 e x d x e y   d y = ∫ 1 ln ⁡ 5 e x 0 ln ⁡ 3 e y   d y

Agora vamos aplicar nos limites de integração:

= ∫ 1 ln ⁡ 5 [ 3 - 1 ] e y   d y = 2 ∫ 1 ln ⁡ 5   e y d y

Tudo bem até aqui? Para ter certeza de que está tudo bem, no momento em que você aplicou os limites em x não pode sobrar nenhuma variável x no integrando, viu? A partir de agora, nossa integral passa a ser só em y !

Passo 3

Integrando em y temos

2 ∫ 1 ln ⁡ 5   e y d y = 2 e y 1 ln ⁡ 5 = 2 5 - e

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

2 5 - e

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