Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE Learning, 2010, pp. 920

Calcule

D   x + 2 y d A

Onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2 x 2 e y = 1 + x 2 .

Passo 1

Primeiramente, vamos fazer um esboço para entender melhor o que está sendo pedido. Como as duas parábolas tem o coeficiente do termo x 2 positivos, elas estão viradas para cima. Fazendo y = 0 , descobriremos suas raízes.

0 = 2 x 2   x = 0

0 = 1 + x 2   x 2 = - 1

A segunda parábola não possui raízes reais, portanto, não corta o eixo x .

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Passo 2

Como essa região está limitada em y por duas equações (a parábola vermelha e a azul) e em x por 2 números, podemos escrevê-la como do tipo I.

Em y teremos: 2 x 2 y 1 + x 2

Para descobrir intervalo em x , devemos fazer e interseção entre as equações das parábolas y = 2 x 2 e y = 1 + x 2 , encontraremos 2 valores.

2 x 2 = 1 + x 2

x 2 = 1

x = ± 1

Assim, descobrimos que x varia entre - 1 e 1 (onde as curvas se encontram). Podemos, então, escrever a região como:

D = { ( x , y ) | - 1 x 1 ;   2 x 2 y 1 + x 2 }  

Passo 3

Vamos, então, substituir em nossa integral os valores que acabamos de encontrar para o domínio.

Cuidado com a ordem de integração!Lembre-se de que as funções ficam na integral de dentro, enquanto os números ficam na de fora.

- 1 1   2 x 2 1 + x 2 x + 2 y d y d x

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a y (integral de dentro):

= - 1 1   x y + 2 y 2 2 y = 2 x 2 y = 1 + x 2 d x

= - 1 1   [ x 1 + x 2 + 1 + x 2 2 ] - x 2 x 2 + 2 x 2 2 d x =

= - 1 1 [   x + x 3 + 1 + 2 x 2 + x 4 ] - 2 x 3 + 4 x 4 d x =

= - 1 1 x + x 3 + 1 + 2 x 2 + x 4 - 2 x 3 - 4 x 4 d x =

= - 1 1 - 3 x 4 - x 3 + 2 x 2 + x + 1   d x =

Passo 5

Está na hora, então, de integrar em relação a x :

= - 3 x 5 5 - x 4 4 + 2 x 3 3 + x 2 2 + x x = - 1 x = 1 =

= - 3 . 1 5 5 - 1 4 4 + 2 . 1 3 3 + 1 2 2 + 1 - - 3 - 1 5 5 - - 1 4 4 + 2 - 1 3 3 + - 1 2 2 + - 1 =

= - 3 5 - 1 4 + 2 3 + 1 2 + 1 - 3 5 - 1 4 - 2 3 + 1 2 - 1 =

= - 3 5 - 1 4 + 2 3 + 1 2 + 1 - 3 5 + 1 4 + 2 3 - 1 2 + 1 =

= - 6 5 + 4 3 + 2 =

= - 18 + 20 + 30 15 =

Resposta

32 15

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