Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G4 - 2013.2, Questão 1b

Considere a integral

D   ( x - y ) d x d y

Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = - 2 x + 4 , y = - 2 x + 7 , y = x - 2 e y = x + 1 .

Escreva a integral em coordenadas x , y sobre o domínio D colocando os domínios de integração explícitos. (Não precisa resolver a integral).

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço dessa região para entender melhor o problema. Temos quatro retas, paralelas duas a duas.

As retas y = x - 2 e y = x + 1 têm inclinação para a direita (porque x tem coeficiente positivo) e cortam o eixo x , respectivamente, em x = 2 e x = - 1 .

As outras duas retas, y = - 2 x + 4 e y = - 2 x + 7 , têm inclinação para a esquerda e cortam o eixo x em x = 2 e x = 7 / 2 , respectivamente.

Então, a região é isso aqui:

Se você reparar, as retas azul e verde, y = x + 1 e y = - 2 x + 7 se cortam em x = 2 :

y = x + 1 = - 2 x + 7

3 x = 6

x = 2

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Passo 2

Agora precisamos escrever essa região na integral. Para escrever tanto como tipo I como II, precisamos dividí-la.

Vamos dividir em duas partes em x = 2 e escrever cada uma delas como tipo I, ok?

Para a parte da esquerda, nós podemos dizer que y está entre as retas amarela e azul, y = - 2 x + 4 e y = x + 1 respectivamente. Ou seja, - 2 x + 4 y x + 1 . E, como vemos na figura, 1 x 2 .

Para a parte da direita, podemos dizer que y varia entre as retas vermelha e verde, y = x - 2 e y = - 2 x + 7 respectivamente. Ou seja, x - 2 y - 2 x + 7 . Pela figura, vemos que 2 x 3 .

Passo 3

Agora, vamos levar esses intervalos para as integrais:

D   ( x - y ) d x d y = 1 2 - 2 x + 4 x + 1 ( x - y ) d y d x + 2 3 x - 2 - 2 x + 7 ( x - y ) d y d x

Resposta

1 2 - 2 x + 4 x + 1 ( x - y ) d y d x + 2 3 x - 2 - 2 x + 7 ( x - y ) d y d x

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