Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2012.2, Questão 1ab

Considere a região plana S definida por

S = x , y R 2 - e x y e x ,   0 x 2

Sejam F x , y uma função contínua definida em S , e I = S F x , y d x d y .

a) Esboce S e, ao lado, esboce o interior de S (ou seja, o conjunto aberto obtido removendo-se de S a sua fronteira).

b) Escreva a integral dupla I na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a y e depois com respeito a x .

Passo 1

a) Problema bem objetivo: pegue a definição de S e a desenhe!

Como y é função de x , nesse primeiro momento, vamos trocar as desigualdades por igualdades. Assim, temos que y está entre as curvas - e x e e x , certo? Então, só precisamos esboçar cada uma delas!

Se x está entre 0 e 2 , vamos percorrer essa faixa de valores colocando na curva e x . Tá, e que curva é essa? Bom, como o x está no expoente, basta fazer algo que comece crescendo devagar, e dispare a medida que x cresce ;)

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Passo 2

Show, agora temos que fazer para y = - e x , beleza? Basta desenhar uma curva simétrica à do passo anterior em relação ao eixo x , pois, para os mesmos valores de x , teremos y negativo:

Lembrando que essas curvas param quando x atinge valor 2 !

Tranquilo até agora?

Passo 3

E, para fechar a curva, basta colocar dois segmentos de reta, um para fechar em x = 2 e outro em x = 0 !

E esse é o contorno de S ! Agora, temos que colocar as desigualdades de volta! Pense no seguinte: y = c u r v a   q u a l q u e r . Aí você pega seu dedo e coloca em cima da curva, beleza? Se estamos na curva de cima, temos que y e x , então colocamos o dedo para baixo (menor que os valores da curva). E, estando na cura de baixo, temos y - e x , então subimos com o dedo (maior que a curva). Assim, S a curva que traçamos aí em cima mais o interior dela! Esse macete ajuda muito na hora de ver regiões mais estranhas de integração ;)

Passo 4

Agora, o problema ainda pede pra tirarmos a fronteira de S , ou seja, temos que esboçar apenas seu interior, certo? Então, só preencher, lembrando de excluir o contorno

Passo 5

b) Essa é tranquila! Nem pediram pra inverter a ordem de integração, né? Então, vamos lá, temos x variando entre 0 e 2 , e y variando entre as duas funções de x , - e x e e x . Assim, colocando primeiro em relação a y e depois a x (como deve ser, porque y é função de x !), temos:

I = 0 2 - e x e x F x , y d y d x

É imediato mesmo, só pra você ficar feliz e ganhar o ponto :D

Resposta

a)Contorno:

b)   I = 0 2 - e x e x F x , y d y d x

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