Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 8

Encontre a área da região R limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = x + 2 utilizando integral dupla.

(a) 1 / 2   u . a .

(b) 3 / 2   u . a .

(c) 5 / 2   u . a .

(d) 7 / 2   u . a .

(e) 9 / 2   u . a .

Passo 1

Nesse tipo de questão, especialmente quando as funções são bem simples de desenhar, é uma boa ideia fazer um esboço:

E nosso objetivo é usar uma integral dupla para calcular essa área verde. O programa já mostrou quais são os pontos de interseção, mas precisamos saber calculá-los por conta própria!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, vamos achar os pontos onde as funções se intersectam:

f x = x 2

g x = x + 2

Começamos igualando as duas:

x 2 = x + 2

x 2 - x - 2 = 0

E se reescrevermos isso na forma “fatorada” fica fácil encontrar as raízes:

x + 1 x - 2 = 0

x = - 1

x = 2

Beleza, agora já estamos prontos para calcular a área.

Passo 3

Vamos montar a integral.

Olhe para a figura e pense assim: para cada valor de x , nós vamos andar (na vertical) de x 2 até x + 2 , e vamos pegar todos os valores de x entre - 1 e 2 . Matematicamente, escrevemos isso assim:

- 1 2 x 2 x + 2 d y d x

- 1 2 x + 2 - ( x 2 )   d x

- 1 2 - x 2 + x + 2   d x

- x 3 3 + x 2 2 + 2 x 2 - 1 = - 2 3 3 + 2 2 2 + 2 2 - - - 1 3 3 + - 1 2 2 + 2 - 1

Resolvendo isso:

- 8 3 + 4 2 + 4 - 1 3 - 1 2 + 2 = - 9 3 + 3 2 + 6 = - 3 + 1,5 + 6 = 4 , 5

E a área da região é:

4,5   u . a = 9 2   u . a .

Resposta

A área da região é 9 / 2   u . a . (Letra e)

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