Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2018.2, Questão 1de

Questão 1: Considere as regiões do plano

R 1 = x ,   y R 2   |   y + 1 - x 2 0

R 2 = x ,   y R 2   |   2 y + x 1

Seja R = R 1 R 2 .

d) Considere a integral dupla

I = R   2 x + 1 2 x + y + 4   d y   d x

Escreva I na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a y e em seguida em relação a x .

Escreva I na forma de uma diferença de integrais simples:

I = c d h 1 x d x - c d h 2 x d x

Explicitando c , d , h 1 x e h 2 x .

Obs.: Neste item não é necessário encontrar o valor numérico da I , apenas escrevê-la no formato pedido.

e) Escreva I na forma de uma soma de integrais iteradas, integrando primeiro com respeito a x e em seguida com respeito a y .

Obs.: Neste item não é necessário calcular as integrais.

Passo 1

d)

Para montarmos essa integral aqui integrando primeiro em relação à x e em seguida em relação y , teríamos que descrever a região do TIPO I que é o tip responsável por deixar o x variando entre números:

I = R   2 x + 1 2 x + y + 4   d y   d x

Mas a gente já fez isso em um dos passos anteriores:

R = x ,   y R 2   | - 1 + x 2 y 1 2 - x 2 ,   - 3 2 x 1

Então...

I = R   2 x + 1 2 x + y + 4   d y   d x =

- 3 2 1 - 1 + x 2 1 2 - x 2 2 x + 1 2 x + y + 4   d y d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para escrever esse mesmo I na forma...

I = c d h 1 x d x - c d h 2 x d x

Temos que começar a resolver a integral dupla! Vamos nessa?

I = - 3 2 1 2 x + 1 - 1 + x 2 1 2 - x 2 1 2 x + y + 4   d y d x =

Considerando a mudança de variável...

x + y + 4 = t      

d t = d y

Não se esqueça de trocar os limites de integração também, heim:

y = - 1 + x 2               t = x 2 + x + 3

y = 1 2 - x 2               t = x 2 + 9 2

Assim...

I = - 3 2 1 2 x + 1 - 1 + x 2 1 2 - x 2 1 2 x + y + 4   d y d x = - 3 2 1 2 x + 1 x 2 + x + 3 x 2 + 9 2 1 2 t   d t d x =

- 3 2 1 2 x + 1 t x 2 + x + 3 x 2 + 9 2 d x = - 3 2 1 2 x + 1 x 2 + 9 2 - x 2 + x + 3 d x =

- 3 2 1 2 x + 1 x 2 + 9 2 d x + - 3 2 1 - 2 x + 1 x 2 + x + 3 d x

Então veja que:

c = - 3 2         e       d = 1

h 1 = 2 x + 1 x 2 + 9 2               e               h 2 = - 2 x + 1 x 2 + x + 3

Passo 3

e)

Poxa, para fazer esse item (inverter a ordem de integração da integral dupla anterior) temos que reescrever a região R , mas dessa vez tentando coloca-la como uma região do tipo 2 !

Nesse tipo devemos ter o y variando entre números, enquanto o x varia entre uma parede esquerda até uma parede direita:

R : a y b P a r e d e   e s q u e r d a x P a r e d e   d i r e i t a    

Eu quero que você perceba que a parede esquerda da região muda no ponto em y = 0 , pois em cima ela é a reta 2 y + x = 1 , enquanto que embaixo ela é a parábola y + 1 - x 2 = 0 , então vamos ter que desmembrar a descrição em duas partes: uma com o y abaixo de 0 e outra com o y acima...

R : a y b P a r e d e   e s q u e r d a x P a r e d e   d i r e i t a = a y 0 P a r e d e   e s q u e r d a x P a r e d e   ( r e t a ) 0 y b P a r e d e   e s q u e r d a x P a r e d e   ( p a r a b )

Passo 4

Vamos começar com a descrição da parte de baixo:

a y 0 P a r e d e   e s q u e r d a x P a r e d e   ( r e t a )

Quem é a ? Sim, é o menor valor que y assume e que no caso é - 1 . A parede esquerda e a direita é a parábola:

y + 1 - x 2 = 0             x 2 = y + 1    

x = ± y + 1

Então, no caso...

a y 0 P a r e d e   e s q u e r d a x P a r e d e   r e t a  

- 1 y 0 - y + 1 x y + 1

Passo 5

Agora vamos descrever a parte de cima:

0 y b P a r e d e   e s q u e r d a x P a r e d e   p a r a b  

A parede esquerda continua sendo a parábola:

x = - y + 1

Enquanto a parede direita é agora a reta:

2 y + x = 1

O ponto b , por sua vez é a altura máxima da região e ela acontece quando o x = - 3 2 ...

2 y + x = 1         2 y - 3 2 = 1  

y = 5 4

Logo...

0 y 5 4 - y + 1 x 1 - 2 y

Passo 6

Podemos concluir então que a região é...

R : - 1 y 0 - y + 1 x y + 1 0 y 5 4 - y + 1 x 1 - 2 y

Remontando a integral então...

I = R   2 x + 1 2 x + y + 4   d y   d x =

- 1 0 - y + 1 y + 1 2 x + 1 2 x + y + 4   d x d y + 0 5 4 - y + 1 1 - 2 y 2 x + 1 2 x + y + 4   d x d y

Resposta

Letra d)

I = - 3 2 1 - 1 + x 2 1 2 - x 2 2 x + 1 2 x + y + 4   d y d x

I = - 3 2 1 2 x + 1 x 2 + 9 2 d x + - 3 2 1 - 2 x + 1 x 2 + x + 3 d x

Letra e)

I = - 1 0 - y + 1 y + 1 2 x + 1 2 x + y + 4   d x d y + 0 5 4 - y + 1 1 - 2 y 2 x + 1 2 x + y + 4   d x d y

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