Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

USP, Cálculo 3, P1 - 2019, Questão 11

Seja f uma unção contínua em R 2 , tal que f x , y > 0 ,   para todo ( x , y ) pertencente a R 2 . Conseidere as seguintes afirmações:

1 )   1 3 - 2 2 f x , y d y   d x   =   - 2 2 1 3 f x , y d y   d x

2 )   R f x , y d x   d y > 0 ,       p a r a   t o d o   r e t â n g u l o   R .

3 )   S e   D ,   c o n t i d o   n o   R 2 ,   é   a   r e g i ã o   l i m i t a d a   p o r   y = 0 ,   y = x 3 - 5 x 2 + 6 x ,  

x = 0   e   x = 3   e n t ã o  

D f x , y d x d y = 0 3 0 x 3 - 5 x 2 + 6 x f ( x , y )   d y   d x

A(s) afirmação(ões) verdadeira(s) para toda função f como acima é(são):

Passo 1

1) Como vimos na teoria de ineversão de ordem, simplesmente inverter o dx com o dy é muito errado! Teríamos que ver a regição e mudar os novos intervalos de variação.

No caso da questão acima, ele inverte simplesmente inverte os intervalos...errado

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

2) Observa que o enuncaiado afirmou pra gente que f x , y > 0 ,   certo?

Uma vez que a integral dupla calcula área de R quando f x , y = 1 ,   sendo que área sempre pe um valor positivo, garantindo que f ( x , y ) > 0 ,   sempre teremos R f x , y d x   d y     maior que zero.

Passo 3

3) Pra essa questão eu preciso que você veja comigo o gráfico

Observa que entre 0 e 3 a integral tem uma inversão, cruzando o y = 0 . E oque isso significa na prática?

Significa que pra calcular essa integral que o enunciado passa pra gente, essa afirmação: D f x , y d x d y = 0 3 0 x 3 - 5 x 2 + 6 x f ( x , y )   d y   d x

é errada. O correto seria:

D f ( x , y )   d x d y = 0 2 0 x 3 - 5 x 2 + 6 x f x , y d y d x +   2 3 x 3 - 5 x 2 + 6 x 0 f x , y   d y d x  

Resposta

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