Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m sabendo que D é a região triangular de vértices 0,0 , 3,0 , ( 3,5 ) e a densidade δ em cada ponto P = x , y ∈   D é igual à distância de P ao eixo y

Passo 1

Sabemos, pela definição de cálculo de massa por integrais duplas, que podemos achar a massa de uma lâmina fazendo a seguinte integral:

m = ∬ D δ x , y d A

Portanto, para resolver esse problema, vamos precisar determinar os limites de integração da nossa região D ! Depois é só jogar na integral.

Vamos lá então, o exercício diz que a nossa região D é um triângulo com os vértices 0,0 , 3,0 , ( 3,5 ) certo? Mas isso não nos diz muito sobre os limites de integração, vamos ter que achar as retas associadas a esses pontos. No gráfico fica assim:

Perceba também que, quando ele fala que a densidade é igual a distância de cada ponto P ao eixo y , o que ele está nos falando é que

δ x , y = x

Portanto, no final das contas, queremos calcular

m = ∬ D x   d x d y

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Passo 2

Agora que está tudo mais claro, vamos desenvolver o nosso problema. No nosso gráfico temos três retas delimitando a região D , duas são mais fáceis de visualizar:

R e t a   V e r m e l h a → y = 0

R e t a   A z u l → x = 3

A terceira dá pra descobrir qual é! Sabemos que ela passa pelos pontos 0,0 e ( 3,5 ) ,né? Então é só usar a equação de qualquer reta:

y = a x + b

No ponto (0,0):

0 = a . 0 + b

b = 0

No ponto (3,5):

5 = 3 a + b

a = 5 3

Logo, substituindo a e b na equação original:

y = 5 x 3 → R e t a   V e r d e

Passo 3

Para o nosso caso em especial não faz tanta diferença determinar os limites de integração como tipo I ou tipo II, vamos fazer aqui então pelo tipo I.

Vendo o gráfico, concluímos que os limites de integração são

0 ≤ y ≤ 5 x 3

0 ≤ x ≤ 3

Passo 4

Substituindo os valores calculados na integral temos

∫ 0 3 ∫ 0 5 x 3 x d y d x

Passo 5

Resolvendo a integral:

∫ 0 3   x y y = 0 y = 5 x 3 d x =

= ∫ 0 3 5 3 x 2 d x =

= 5 3 ∫ 0 3 x 2 d x =

5 3 x 3 3 x = 0 x = 3 = 5 3 27 3 = 15

m = 15

Resposta

15

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