Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

USP, Cálculo 3, P1 - 2019, Questão 3

Se D é um triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,2) então o valor da integral D y   d x d y é:

Passo 1

Pra resolver essa vamos começar vendo essa região que ele chamou de D .

Pra a gente pode escrever isso, é importante que a gente conheça a função que descreve aquela reta ali em cima. Ou seja, isso mesmo, vamos descobrir a equação da reta. Daí é contigo...cada um faz do jeito que acha melhor. Eu particularmente acho mais tranquilo de fazer por determinantes.

0 2 1 2 0 1 x y 1 = 0

0 + 2 x + 2 x - 0 + 4 + 0 = 0

2 x + 2 y - 4 = 0

Com isso a gente já tem a equação da reta. Agora, eu vou isolar o x, uma vez que a questão pediu pra gente integram dx e depois dy, show? (só falei isso pq no enunciado ele escreveu a integral desse jeito D y   d x d y , mas não faz diferença nenhuma se você calcula como uma integral do tipo 1 ou 2)

2 x + 2 y - 4 = 0

x = 2 - y

Bom, agora falta só a gente montar a integral e resolver.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A integral, no final das contas vai ficar

0 2 0 2 - y y   d x   d y

0 2   x   y 0 2 - y   d y

0 2 y 2 - y d y

0 2 - y 2 + 2 y     d y

- y 3 3 + y 2   | 0 2

= 4 3

Resposta

4 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas