Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:

y = x ,       y = 4 x ,       x y = 36

No primeiro quadrante.

Passo 1

A gente sabe que a área da região a gente faz pela integral dupla:

A r e a = ∬ D d A

Fazendo um esboço da nossa região, nós temos duas retas: y = x ,       y = 4 x ; e um gráfico mais estranho: x y = 36 → y = 36 / x . Como ele só quer a parte no primeiro quadrante, temos algo assim:

Não dá pra escrever a região nem como tipo 1 , nem como tipo 2 , diretamente, então vamos ter que separar em dois pedaços D 1 e D 2 , mas calma que não é nada demais, você vai ver...

Passo 2

O primeiro pedaço vai ser até a reta de cima encontrar com a curva. Se igualarmos o y vamos ter algo assim:

4 x = 36 x → x 2 = 9

⇒ x = ± 3 → x = 3

Então a região é assim:

A integral vai assim, então:

∬ D 1 d A = ∫ 0 3 ∫ x 4 x d y d x

Passo 3

Calculando a integral que encontramos no passo anterior:

∫ 0 3 ∫ x 4 x d y d x = ∫ 0 3 y │ x 4 x d x

⇒ ∫ 0 3 4 x - x d x = ∫ 0 3 3 x d x

⇒ 3 x 2 2 │ 0 3 = 27 2

Agora só falta o outro pedaço!

Passo 4

O pedaço que tava faltando era:

Que também é tipo 1 , então vamos achar o ponto que a reta de baixo encontra a curva:

x = 36 x → x 2 = 36

⇒ x = ± 6 → x = 6

E a integral fica, então:

∬ D 2 d A = ∫ 3 6 ∫ x 36 x d y d x

Passo 5

Agora é só calcular a integral:

∫ 3 6 ∫ x 36 x d y d x = ∫ 3 6 y │ x 36 x d x

⇒ ∫ 3 6 36 x d x - ∫ 3 6 x d x

⇒ 36 ln ⁡ x │ 3 6 - x 2 2 │ 3 6

⇒ 36 ln ⁡ 6 - ln ⁡ 3 - 36 - 9 2

36 ln ⁡ 6 3 - 27 2 = 36 ln ⁡ 2 - 27 2

Passo 6

Agora é só somar tudo:

∬ D d A = ∬ D 1 d A + ∬ D 2 d A

⇒ 27 2 + 36 ln ⁡ 2 - 27 2

⇒ 36 ln ⁡ 2

Resposta

36 ln ⁡ 2

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