Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 2b

Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:

y = x ,       y = 4 x ,       x y = 36

No primeiro quadrante.

Passo 1

A gente sabe que a área da região a gente faz pela integral dupla:

A r e a = D d A

Fazendo um esboço da nossa região, nós temos duas retas: y = x ,       y = 4 x ; e um gráfico mais estranho: x y = 36 y = 36 / x . Como ele só quer a parte no primeiro quadrante, temos algo assim:

Não dá pra escrever a região nem como tipo 1 , nem como tipo 2 , diretamente, então vamos ter que separar em dois pedaços D 1 e D 2 , mas calma que não é nada demais, você vai ver...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O primeiro pedaço vai ser até a reta de cima encontrar com a curva. Se igualarmos o y vamos ter algo assim:

4 x = 36 x x 2 = 9

x = ± 3 x = 3

Então a região é assim:

A integral vai assim, então:

D 1 d A = 0 3 x 4 x d y d x

Passo 3

Calculando a integral que encontramos no passo anterior:

0 3 x 4 x d y d x = 0 3 y x 4 x d x

0 3 4 x - x d x = 0 3 3 x d x

3 x 2 2 0 3 = 27 2

Agora só falta o outro pedaço!

Passo 4

O pedaço que tava faltando era:

Que também é tipo 1 , então vamos achar o ponto que a reta de baixo encontra a curva:

x = 36 x x 2 = 36

x = ± 6 x = 6

E a integral fica, então:

D 2 d A = 3 6 x 36 x d y d x

Passo 5

Agora é só calcular a integral:

3 6 x 36 x d y d x = 3 6 y x 36 x d x

3 6 36 x d x - 3 6 x d x

36 ln x 3 6 - x 2 2 3 6

36 ln 6 - ln 3 - 36 - 9 2

36 ln 6 3 - 27 2 = 36 ln 2 - 27 2

Passo 6

Agora é só somar tudo:

D d A = D 1 d A + D 2 d A

27 2 + 36 ln 2 - 27 2

36 ln 2

Resposta

36 ln 2

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