1)

  1. Calcule a massa do sólido

S = u ,   v ,   w ∈ R 3   |   1 ≤ u 2 + v 2 + w 2 ≤ 2 u

com densidade γ u ,   v ,   w = u

Passo 1

Massa de um sólido S atualmente é nos dado por uma integral tripla:

M a s s a :   ∭ S   γ u ,   v ,   w d V

Onde para calcularmos, primeiro precisamos colocar na sua forma iterada, ou seja, precisamos descrever S . Mas aí surge uma dúvida... Quem é S ?

Passo 2

Bem, S é a intersecção de duas esferas:

u 2 + v 2 + w 2 = 1

u 2 + v 2 + w 2 = 2 u

A primeira esfera tem raio 1 e está centrada na origem. Quanto à segunda... Bem, completemos quadrado para você ver o que vai acontecer...

u 2 + v 2 + w 2 = 2 u     →             u 2 - 2 u + v 2 + w 2 = 0     →

Como u 2 - 2 u = u - 1 2 - 1 ...

u - 1 2 - 1 + v 2 + w 2 = 0     →

u - 1 2 + v 2 + w 2 = 1

Uma esfera também mas deslocada uma unidade em u .

O sólido é o que está acima da azul, mas por baixo da vermelha ;)

Passo 3

Beleza, se estamos trabalhando com esferas, podemos pensar nas coordenadas esféricas:

v = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ

w = r sin ⁡ φ sin ⁡ θ

u = r cos ⁡ φ

O jacobiano dessa mudança é...

J = r 2 sin ⁡ φ

Ah! E é sempre bom saber que aqui é válida a equação da esfera:

u 2 + v 2 + w 2 = r 2

Passo 4

Para determinar os limites das novas variáveis, pensemos no seguinte:

O nosso sólido é esse cara daqui:

Como θ é o ângulo que varia em cima de v e w (porque na mudança usamos o θ apenas em v e w ), olhemos para o sólido projetado no plano v w ...

Repare que θ dá uma volta inteira para formar o círculo, então...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Quando a variável φ , o ângulo que desce no eixo u ...

Bem, ele tem que estar variando de   0 até o encontro de uma esfera com a outra, ou seja, até a intersecção. Como as equações de ambas são...

u 2 + v 2 + w 2 = 1

u 2 + v 2 + w 2 = 2 u

Logo

1 = 2 u       →             u = 1 2         →

r cos ⁡ φ = 1 2

Como o raio nesse encontro é o raio da esfera menor, ou seja, r = 1 ...

cos ⁡ φ = 1 2

Logo, o ângulo máximo de variação de φ é 60 ° ...

0 ≤ φ ≤ π 3

Quanto ao r , basta substituir na inequação dada no problema...

1 ≤ u 2 + v 2 + w 2 ≤ 2 u       →

1 ≤ r 2 ≤ 2 r cos ⁡ φ       →

1 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ φ

Passo 5

Antes de voltar para a integral, apenas não esqueça de substituir a mudança de coordenada na função densidade:

γ u ,   v ,   w = u   →

γ = r cos ⁡ φ

Passo 6

Montando então a integral tripla não se esquecendo do Jacobiano...

∭ S   γ u ,   v ,   w d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ 1 2 cos ⁡ φ r cos ⁡ φ ⋅ J   d r d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ 1 2 cos ⁡ φ r 3 sin ⁡ φ cos ⁡ φ   d r d φ d θ

Agora é só integrar ;)

∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos ⁡ φ ∫ 1 2 cos ⁡ φ r 3   d r d φ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos ⁡ φ r 4 4 1 2 cos ⁡ φ d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos ⁡ φ 4 cos 4 ⁡ φ - 1 4 d φ d θ ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ 4 cos 5 ⁡ φ - cos ⁡ φ 4 d φ d θ =

Fazendo uma substituição...

cos ⁡ φ = t         →           d t = - sin ⁡ φ d φ  

φ = 0               →                   t = cos ⁡ 0 = 1

φ = π 3               →                   t = cos ⁡ π 3 = 1 2

∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ 4 cos 5 ⁡ φ - cos ⁡ φ 4 d φ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 1 1 2 - 4 t 5 - t 4 d t d θ =

∫ 0 2 π ∫ 1 2 1 4 t 5 - t 4 d t d θ = ∫ 0 2 π 4 t 6 6 - t 2 8 1 2 1 d θ =

4 6 - 1 8 - 4 1 2 6 6 - 1 2 2 8 2 π =

4 6 - 1 8 - 1 6 ⋅ 16 - 1 4 ⋅ 8 2 π = 21 32 - 3 32 2 π = 9 8 π

Resposta

9 8 π

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Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x