Considere a função f : U ⊂ R 3 → R tal que

f x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2

onde

U = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2   e   z ≥ 1 }

e a integral tripla

I = ∭ U   f ( x , y , z ) d x d y d z

a) Esboce corretamente a região U , indicando no desenho a sua fronteira.

b) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas ( ρ , φ , θ ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

c) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

d) Calcule I .

Passo 1

Resolvendo a letra a) da questão:

Temos uma esfera centrada na origem de raio r = 2 e um plano z = 1 que a corta, o problema se refere à região compreendida entre essas duas superfícies:

Passo 2

Resolvendo a letra b) da questão:

Para descrever a região em coordenadas esféricas, faremos a seguinte substituição nas equações das superfícies:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

Para a esfera:

ρ = 2

Para o plano:

ρ cos ⁡ φ = 1   →   ρ = sec ⁡ φ

Como os valores de ρ variam desde a superfície do plano até a da esfera, temos sec ⁡ φ ≤ ρ ≤ 2 . Como a região faz uma volta completa em torno de z , sabemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π . Para encontrar o intervalo de φ , vamos fazer a interseção entre as superfícies:

2 cos ⁡ φ = 1   → cos ⁡ φ = 1 2   →   φ = π 4

Como φ varia desde o eixo z , onde φ = 0 até π / 4 , temos:

U = ρ , φ , θ |   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ φ ≤ π / 4 ,   sec ⁡ φ ≤ ρ ≤ 2

Passo 3

Agora vamos escrever a função f x , y , z em coordenadas esféricas:

1 x 2 + y 2 + z 2   →   1 ρ 2 = 1 ρ

Passo 4

Reescrevendo a integral em coordenadas esféricas, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 ∫ sec ⁡ φ 2 1 ρ ρ 2 s e n   φ   d ρ d φ d θ   = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 ∫ sec ⁡ φ 2 ρ   s e n   φ   d ρ d φ d θ  

Não se esqueça do fator de conversão ρ 2 s e n   φ

Passo 5

Resolvendo a letra c) da questão:

Para descrever a região em coordenadas cilíndricas, faremos a seguinte substituição nas equações das superfícies:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

Para a esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 2   → r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ + z 2 = 2   → r = 2 - z 2  

Temos, portanto 0 ≤ r ≤ 2 - z 2 . Pela imagem, vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z .

A equação do plano não muda, continua z = 1 . Como o valor máximo de z é no topo da esfera, onde z = 2 , temos 1 ≤ z ≤ 2 . Assim, podemos descrever a região como:

U = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 2 - z 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   1 ≤ z ≤ 2 }

Você também poderia ter escrito a região como tipo I, fazendo 0 ≤ r ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2 - r 2 , porém, encontraria uma integral mais complicada e teria que usar substituições trigonométricas para resolvê-la.

Passo 6

Vamos, agora, escrever a função f ( x , y , z ) em coordenadas cilíndricas:

1 x 2 + y 2 + z 2   →   1 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ + z 2 = 1 r 2 + z 2

Passo 7

Reescrevendo a integral em coordenadas cilíndricas, temos, então:

∫ 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - z 2 r r 2 + z 2   d r d θ d z

Não se esqueça do fator de conversão r .

Passo 8

Resolvendo a letra d) da questão:

Faremos a substituição:

r 2 + z 2 = u ;     2 r d r

= 1 2 ∫ 1 2 ∫ 0 2 π ∫ z 2 2 d u u   d θ d z =

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 π u u = z 2 u = 2 d θ d z =

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 π 2 - z d θ d z =

= ∫ 1 2 ( 2 - z ) θ θ = 0 θ = 2 π d z =

= 2 π ∫ 1 2 2 - z d z =

= 2 π 2 z - z 2 2 z = 1 z = 2 =

= 2 π ( 2 - 1 - 2 + 1 / 2 ) =

Resposta

b ) ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 ∫ sec ⁡ φ 2 ρ   s e n   φ   d ρ d φ d θ  

c ) ∫ 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - z 2 r r 2 + z 2   d r d θ d z

d )   ( 3 - 2 2 ) π

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x