Escreva a equação da reta tangente às curvas y = f ( x ) no ponto especificado. Esboce o gráfico de f ( x ) e da reta tangente.

  1. y = x 3 ,   x = 3

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafioo!?

Nossa função é essa aqui

f x = y = x 3

E queremos a reta tangente a ela no ponto x = 3

O primeiro passo aqui é a gente lembrar da equação da reta tangente!!!

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

Onde x 0 é o ponto de interesse, que foi dado no problema: x = 3 !

Então olhando pra equação da reta tangente, o que a gente vai precisar encontrar? Bem, primeiro precisamos calcular y 0 e depois f ' x 0 .

Para calcular y 0 a gente vai precisar pegar nossa f x 0 = y 0 , em outras palavras, uma vez que o enunciado nos deu a função e conhecemos o ponto x 0 desejado, conseguimos calcular tranquilamente o valor de y 0 , certo?

Passo 2

Vamos começar calculando y 0 a partir de x 0

f x = y = x 3

Então

f x 0 = y 0 = x 0 3

O nosso ponto é x 0 = x = 3 . Logo

y 0 = 3 3 = 27

Show!! Agora partiu calcular a derivada da f x 0 e depois substituir o valor de x 0 por 3!!

f ' x 0 = 3 x 0 2 = 3 3 2 = 27

Passo 3

Usando a equação da reta:

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

Substituindo os valores, temos:

y - 27 = 27 x - 3

y - 27 = 27 x - 81

y = 27 x - 54

Passo 4

Para a construção do gráfico de uma reta, podemos conhecer dois pontos e depois ligar os mesmos. Então, por exemplo, um bom ponto pra partirmos é ver qual valor y assumirá quando x = 0 .

y = 27 0 - 54 → y = - 54

Logo, temos o par x , y = 0 , - 54

Agora quando y = 0 , qual será o valor de x ?

0 = 27 x - 54

54 27 = x → 2

Logo, temos: x , y = ( 2,0 )

Resposta

y = 27 x - 54

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