Exercício 11 Verifique quais das series abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

f) ∑ n = 2 + ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos determinar se a série dada por ∑ n = 1 + ∞ - 1 n n ln ⁡ n é convergente ou divergente.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse problema temos uma série alternada devido ao termo - 1 n em que se n for par, o resultado é - 1 n = 1 mas se n for ímpar, - 1 n = - 1 .

Pra responder essa pergunta podemos aplicar o teste das series alternadas...

Dada uma série genérica

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Podemos dizer que tal serie converge se:

- a n converge;

- Se a n for decrescente e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Se a a n converge, então a série converge absolutamente.

Se a série converge, mas a n diverge, então a série converge condicionalmente

Se nenhuma dessas colocações forem satisfeitas, então a serie diverge.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, a n = 1 n ln ⁡ n .

Podemos verificar se a k converge a partir do segundo caso de convergência...

Primeiro vamos verificar se lim n → �� ⁡ a n = 0

lim k → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n

Com n → ∞ , temos que a razão 1 n ln ⁡ n tende a 0 ...

lim k → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n = 0

Conforme n cresce o resultado da razão diminui, portanto, podemos perceber que a n é decrescente.

E também como - 1 n n ln ⁡ n = 1 n ln ⁡ n e pelo teste da integral, a série 1 n ln ⁡ n diverge.

Com tudo, como lim n → ∞ ⁡ a n = 0 foi satisfeito, então a série ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n converge condicionalmente.

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Converge

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