Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

b) ∑ n = 3 ∞ - 1 n n 2 + 3 n 2 - 2 ;

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada uma série e temos que determinar se essa série converge ou diverge!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Nesse problema temos uma série alternada devido ao termo - 1 n em que se n for par, o resultado é - 1 n = 1 mas se n for ímpar, - 1 n = - 1 .

Pra responder essa pergunta podemos aplicar o teste das series alternadas...

Dada uma série genérica

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Podemos dizer que tal serie converge se:

- a n converge;

- Se a n for decrescente e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Se a a n converge, então a série converge absolutamente.

Se a série converge, mas a n diverge, então a série converge condicionalmente

Se nenhuma dessas colocações forem satisfeitas, então a serie diverge.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, a n = n 2 + 3 n 2 - 2 .

Podemos verificar se a k converge a partir do segundo caso de convergência...

Primeiro vamos verificar se lim n → ∞ ⁡ a n = 0

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 3 n 2 - 2

Dividindo todos os termos por n 2 ...

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 + 3 n 2 n 2 n 2 - 2 n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n 2 1 - 2 n 2

Com n → ∞ , vemos que os termos 3 n 2 e 2 n 2 tendem a 0 ...

lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n 2 1 - 2 n 2 = 1

Com isso, como lim n → ∞ ⁡ a n = 0 não foi satisfeito, então a série ∑ n = 3 ∞ - 1 n n 2 + 3 n 2 - 2 diverge.

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

Diverge

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
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