4) Mostre que a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 n 4 + 3 n

É condicionalmente convergente.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que mostrar que a série dada por

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 n 4 + 3 n

Converge.

Sabe como fazemos isso? 🤔

A primeira coisa que nos salta aos olhos quando vemos essa série é o termo - 1 n .

Esse termo indica que essa série muda de sinal dependendo do valor de n e chamamos esse tipo de série de Série Alternada, que é dada genericamente como

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Para verificar a convergência desse tipo de serie, temos que aplicar o teste das séries alternadas.

Lembra como aplicamos esse teste? 👀

Passo 2

Para aplicar esse teste, vamos ignorar o termo que alterna o sinal, ou seja, vamos olhar para o módulo da série.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 n 4 + 3 n = ∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 + 3 n

Esse teste nos diz que se ∑ n = 1 ∞ a n converge e lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , então a série é absolutamente convergente.

Mas se ∑ n = 1 ∞ a n diverge e lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , então a série é condicionalmente convergente.

E por fim, se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série diverge.

Sacou? Bora começar!

No nosso caso, a n é dado por

a n = n 3 n 4 + 3 n

Temos que provar que essa série é condicionalmente convergente, então podemos afirmar que o limite de a n é igual a 0 .

O que não é difícil de provar já que o polinômio do denominador tem grau maior que o polinômio do numerador.

lim n → ∞ ⁡ n 3 n 4 + 3 n = 0

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora precisamos mostrar que ∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 + 3 n diverge.

Podemos usar um teste muito poderoso que é o teste da comparação do limite.

Esse teste consiste em calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = L

Onde b n é uma série que tem a convergência conhecida. Assim, se L for um número finito diferente de 0 e diferente de , então a n e b n tem o mesmo comportamento.o segredo é usar uma série b n bem simples, por exemplo, uma série harmônica

b n = 1 n

Sabemos que as series harmônicas sempre divergem, então substituindo no limite...

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n 3 n 4 + 3 n 1 n

lim n → ∞ ⁡ n · n 3 n 4 + 3 n → lim n → ∞ ⁡ n 4 n 4 + 3 n

Dividindo tudo por n 4

lim n → ∞ ⁡ n 4 n 4 n 4 n 4 + 3 n n 4 → lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 3 n 3

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 3 n 3 = 1 1 + 0 = 1

Assim, vemos que a n e b n tem o mesmo comportamento, logo, se b n diverge, a n também diverge!

E a série alternada dada no enunciado é classificada como condicionalmente convergente!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Condicionalmente convergente.

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