11 - Quais das séries alternadas convergem e quais divergem?

f) ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ln ⁡ n ln ⁡ n 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos saber se a serie alternada dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ln ⁡ n ln ⁡ n 2 converge ou diverge.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Pra responder essa pergunta podemos aplicar o teste das series alternadas...

Dada uma série genérica

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Podemos dizer que tal serie converge se:

- a n converge;

- Se a n for decrescente e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Se nenhuma dessas colocações forem satisfeitas, então a serie diverge.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, a n = ln ⁡ n ln ⁡ n 2 .

Podemos verificar se a n converge a partir do segundo caso de convergência...

Primeiro vamos verificar se lim n → ∞ ⁡ a n = 0

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n 2

Pelas propriedades logarítmicas podemos simplificar o denominador como

ln ⁡ n 2 = 2 ln ⁡ n

Substituindo no limite...

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 ln ⁡ n = 1 2

Portanto, como lim n → ∞ ⁡ a n = 0 não foi satisfeito, então a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ln ⁡ n ln ⁡ n 2 diverge.

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Diverge.

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1