12 - Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem.

a) ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 0,1 n

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos saber se a serie alternada dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 0,1 n converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Pra responder essa pergunta podemos aplicar o teste das series alternadas...

Dada uma série genérica

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Podemos dizer que tal serie converge se:

- a n converge;

- Se a n for decrescente e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Se a a n converge, então a série converge absolutamente.

Se a série converge, mas a n diverge, então a série converge condicionalmente

Se nenhuma dessas colocações forem satisfeitas, então a serie diverge.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, a n = 0,1 n .

Podemos verificar se a n converge a partir do segundo caso de convergência...

Primeiro vamos verificar se lim n → ∞ ⁡ a n = 0

lim n → ∞ ⁡ 0,1 n

Como a base do expoente é menor que 1 , conforme n cresce o resultado da potência diminui (*), ou seja

lim n → ∞ ⁡ 0,1 n = 0

Como dito em (*) podemos perceber que a n é decrescente.

E também como - 1 n 0,1 n = 0,1 n e lim n → ∞ ⁡ a n = 0 foi satisfeito, então a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 0,1 n converge absolutamente.

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

Converge absolutamente

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