12 - Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem.

g) ∑ n = 1 ∞ - 1 n sin ⁡ n n 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos saber se a serie alternada dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n sin ⁡ n n 2 converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Pra responder essa pergunta podemos aplicar o teste das series alternadas...

Dada uma série genérica

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Podemos dizer que tal serie converge se:

- a n converge;

- Se a n for decrescente e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Se a a n converge, então a série converge absolutamente.

Se a série converge, mas a n diverge, então a série converge condicionalmente

Se nenhuma dessas colocações forem satisfeitas, então a serie diverge.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, a n = sin ⁡ n n 2 .

Podemos verificar se a n converge a partir do segundo caso de convergência...

Primeiro vamos verificar se lim n → ∞ ⁡ a n = 0

lim n → ∞ ⁡ sin ⁡ n n 2

Pelo teorema do confronto, temos

- 1 n 2 ≤ sin ⁡ n n 2 ≤ 1 n 2

lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 ≤ lim n → ∞ ⁡ sin ⁡ n n 2 ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 n 2

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ sin ⁡ n n 2 ≤ 0

lim n → ∞ ⁡ sin ⁡ n n 2 = 0

Conforme n cresce o resultado da razão diminui, portanto, podemos perceber que a n é decrescente.

E também como - 1 n sin ⁡ n n 2 = sin ⁡ n n 2 e pelo teste da comparação sin ⁡ n n 2 converge.

Com tudo, como lim n → ∞ ⁡ a n = 0 foi satisfeito, então a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n sin ⁡ n n 2 converge absolutamente.

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Converge Absolutamente

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