Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Passo 1

Vamos lembrar da forma da série de Taylor:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Assim, para expandirmos essa função, devemos encontrar as derivadas no ponto a = 5 assim:

f 5 = 174 f ' x = 3 x 2 + 4 x ⇒ f ' 5 = 95 f ' ' x = 6 x + 4 ⇒ f ' ' 5 = 34 f ' ' ' x = 6 ⇒ f ' ' ' 5 = 6

Assim, temos que os coeficientes da série de Taylor são:

f ( 5 ) 0 ! = 174 f ' ( 5 ) 1 ! = 95 f ' ' ( 5 ) 2 ! = 17 f ' ' ' ( 5 ) 3 ! = 1

Logo podemos escrever a função como:

f x = 174 + 95 x - 5 + 17 x - 5 2 + x - 5 3

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Passo 2

Como se trata de um polinômio, a função converge em todos os pontos. Logo:

R = ∞

Resposta

R = ∞

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