Encontre a série de Maclaurin de f ( x ) = e - x 2 (detalhe o método que utilizou para obter) e seu raio de convergência. Encontre o valor aproximado de 1 / e .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Esta questão quer que determinemos uma série de potências para a seguinte função

f ( x ) =   e - x 2

usando uma série de Maclaurin. É basicamente isso! Mas como fazer isso? A série de Maclaurin é definida como

f ( x ) ≈ ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( d n f ( x ) d x n ) | x = 0 x n

É bem parecida com a série de Taylor, mas com x 0 = 0 . Ou seja, precisamos calcular várias derivadas para identificar uma expressão geral para a série! Além disso, precisamos calcular o raio de convergência da série que iremos obter, por último, usar o resultado obtido para aproximarmos o valor de 1 / e . Bora lá!

Passo 2

Vamos trabalhar em encontrar a série de Maclaurin da seguinte função

g ( x ) = e x

e através da série desta função, obter a que desejamos! Belezinha? Primeiro, vamos calcular cada um dos coeficientes, temos que para n = 0 , obtemos

a 0 = e 0 = 1

da mesma forma, para n = 1 , temos agora

a 1 = d d x [ e x ] | x = 0

como temos que a derivada da exponencial é a própria exponencial

d d x [ e x ] = e x

Podemos obter que

a 1 = e 0 = 1

Note que isso irá se repetir, sempre obtendo o valor 1 para todos coeficientes, portanto, temos que a série de Maclaurin a função exponencial é simplesmente

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n

Claro, não é isso que estamos querendo, mas a partir desta podemos construir o que desejamos! Vamos lá!

Passo 3

O que queremos é a expansão em série de potências da função

f ( x ) =   e - x 2

A principal diferença é que temos ao invés de x , simplesmente - x 2 , então vamos fazer essa substituição, nós obtemos que

e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( - x 2 ) n

Podemos separar ( - x 2 ) n como ( - 1 ) n x 2 n , ou seja, ganhamos um termo que indica a alternância de sinal dos coeficientes, temos que

e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n ! x 2 n

Essa é a série de potências de nossa função! Ainda precisamos determinar o seu raio de convergência! Vamos lá!

Passo 4

Determinar o raio de convergência é encontrar um intervalo em x em que a nossa série é convergente. Mas como determinar a convergência de uma série? Existem várias maneiras, em particular quando temos fatoriais em nossa série é conveniente utilizar o teste da razão, este teste diz que

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = L

se L < 1 a série é absolutamente convergente, se L = 1 , podemos dizer nada, se L > 1 , a série é divergente! Em nosso caso, iremos ter a liberdade de estabelecer um intervalo para x que garanta que L < 1 . Esse será o nosso intervalo de convergência! Bora fazer isso!

Passo 5

Podemos identificar em nossa série que

a n = ( - 1 ) n n ! x 2 n

portanto, temos que

a n + 1 = ( - 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! x 2 ( n + 1 )

podemos escrever o nosso limite como

l i m n → ∞ | ( - 1 ) n + 1 x 2 ( n + 1 ) / ( n + 1 ) ! ( - 1 ) n x 2 n / n ! |

temos uma razão de duas frações, portanto, podemos multiplicar a que está no numerador pelo inverso da que está no denominador, para encontrar

l i m n → ∞ | ( - 1 ) n + 1 x 2 ( n + 1 ) / ( n + 1 ) ! ( - 1 ) n x 2 n / n ! | = l i m n → ∞ | ( - 1 ) n + 1 x 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) ! n ! ( - 1 ) n x 2 n |

Como temos que ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) n ! , também que ( - 1 ) n + 1 = - 1 ( - 1 ) n , e que x 2 ( n + 1 ) = x 2 n x 2 , podemos simplificar o denominador e o numerador obtendo o seguinte limite

l i m n → ∞ | ( - 1 ) n + 1 x 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) ! n ! ( - 1 ) n x 2 n | = l i m n → ∞ | ( - 1 ) ( - 1 ) n x 2 n x 2 ( n + 1 ) n ! n ! ( - 1 ) n x 2 n | = l i m n → ∞ | - x 2 1 ( n + 1 ) |

Como temos que o limite é em n , podemos escrever que

l i m n → ∞ | - x 2 1 ( n + 1 ) | = x 2 | l i m n → ∞ 1 n + 1 | = x 2 [ 0 ]

Como temos que

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = 0

para todo x , então temos que o intervalo de convergência é o aberto

I .   C .   =   ( - ∞ , + ∞ )

o raio de convergência também será ilimitado nestas condições! Vamos agora aproximar o valor de 1 / e . Vem comigo!

Passo 6

Para aproximar o valor de 1 / e podemos pensar no caso em que x = 1 em nossa expansão, pois temos então que

e - 1 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n ! 1 2 n

que pode ser simplificado simplesmente como

1 / e = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n !

já que 1 elevando a qualquer coisa é simplesmente 1 . Se expandirmos a soma por alguns termos, temos que

1 / e = 1 / 0 ! - 1 / 1 ! + 1 / 2 ! - 1 / 3 ! + 1 / 4 ! - 1 / 5 ! + 1 / 6 ! + . . .

Somando estes termos, temos que o valor aproximado é

1 / e ≈ 0,5 - 0,17 + 0,042 - 0,0083 + 0,0014 + . . . ≈ 0,3651

que é bastante próximo do valor esperado usando que e = 2,718 . . . A questão é isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A série é dada por x 2   e - x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n ! x 2 + n , com raio de convergência ilimitado e a aproximação de 1 / e é 0,3651 .

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