Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n ( x )   →   0 ]. Também encontre o raio de convergência associado.

20)

f x = x ,   a = 16

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos a série de Taylor centrada no valor de a dado.

Lembrando que a série de Taylor é dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Assim, basta derivarmos algumas vezes e substituir x = a .

Lembrando que nesse caso a = 16 .

😉

Passo 2

Seguindo com o que acabamos de mostrar no Passo 1, temos:

f x = x ∴ f 16 = 4

f ' x = 1 2 x ∴ f ' 16 = 1 8

f ' ' x = - 1 4 x 3 / 2 ∴ f ' ' 16 = - 1 256

f ' ' ' x = 3 8 x 5 / 2 ∴ f ' ' ' 16 = 3 8192

Logo, vemos que o padrão é dado por:

Dessa forma, a série de Taylor é dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 16 n ! x - 16 n ∴

f x = 4 + 1 8 x - 16 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 * 3 * 5 … 2 n - 3 2 5 n - 2 n ! x - 16 n

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n * 1 * 3 * 5 … 2 n - 1 x - 16 n + 1 2 5 n + 3 ( n + 1 ) ! * 2 5 n - 2 ( n ) ! - 1 n - 1 * 1 * 3 * 5 … 2 n - 3 x - 16 n ∴

= lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 x - 16 2 5 n + 1 ∴

= | x - 16 | 32 lim n → ∞ ⁡ 2 - 1 n 1 + 1 n ∴

= | x - 16 | 32 * 2 ∴

x - 16 < 16

Ou seja, o raio de convergência é R = 16 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = 4 + 1 8 x - 16 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 * 3 * 5 … 2 n - 3 2 5 n - 2 n ! x - 16 n

R = 16

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