Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Questão 2: considere a seguinte função

g x = ∫ 0 x 1 y 2 arctanh ⁡ y 2 d y

  1. Encontre a série de Taylor em torno do zero desta função.
  2. Determine g 15 0 (a décima-quinta derivada da função g em x = 0 ).

Passo 1

a )

Bem, encontrar a série de Taylor dessa série pela definição está fora de condições já que não estamos trabalhando com expressões fáceis.

Mas percebe que podemos através do teorema fundamental do cálculo - TFC, podemos calcular a derivada dessa integral, e em seguida calcular a próxima derivada gerando um termo 1 1 - y 2 , termo esse que a gente sabe encontrar a série de Taylor. Depois, é só fazer o caminho inverso. Vamos nessa?

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Passo 2

Primeiro derivando a integral...

g x = ∫ 0 x 1 y 2 arctanh ⁡ y 2 d y   →

g ' x = 1 x 2 arctanh ⁡ x 2 ⋅ x ' →

g ' x = 1 x 2 arctanh ⁡ x 2

Se a gente tomar h y = arctanh ⁡ y e derivar:

h ' y = arctanh ⁡ y '       →

Derivando...

h ' y = 1 1 + y 2

Passo 3

Olha que maravilha essa função, pois a gente pode compara com essa série aqui:

1 1 - x = ∑ m = 0 ∞ x m

Substituindo x = - y 2

1 1 + y 2 = ∑ m = 0 ∞ - y 2 m = ∑ m = 0 ∞ - 1 m y 2 m

Então Integrando para recuperar a h y ...

h ' y = ∑ m = 0 ∞ - 1 m y 2 m     →

h y = ∑ m = 0 ∞ - 1 m y 2 m + 1 2 m + 1 + C

Essa constante de integração aí some, pois h 0 ...

h 0 = ∑ m = 0 ∞ 0 + C = arctanh ⁡ 0 =

0

Então C = 0 , saca?

h y = ∑ m = 0 ∞ - 1 m y 2 m + 1 2 m + 1

Como

g ' x = 1 x 2 h x 2 =

1 x 2 ∑ m = 0 ∞ - 1 m x 2 2 m + 1 2 m + 1 =

∑ m = 0 ∞ - 1 m x 4 m + 2 ⋅ x - 2 2 m + 1 =

∑ m = 0 ∞ - 1 m x 4 m 2 m + 1

Passo 4

Agora vamos integrar a g ' e voltar para a função g :

g ' x = ∑ m = 0 ∞ - 1 m x 4 m 2 m + 1     →

Integrando...

g x = ∑ m = 0 ∞ - 1 m 1 2 m + 1 x 4 m + 1 4 m + 1 + C →

Novamente a gente pode encontrar a constante C percebendo que g 0 = ∫ 0 0 1 y 2 arctanh ⁡ y 2 d y = 0 , então...

g 0 = ∑ m = 0 ∞ 0 + C = 0   →

C = 0

Então, concluímos que...

g x = ∑ m = 0 ∞ - 1 m 1 2 m + 1 x 4 m + 1 4 m + 1       o u   a i n d a … .

g x = ∑ m = 0 ∞ - 1 m 1 2 m + 1 4 m + 1 x 4 m + 1

Passo 5

b )

Podemos falar que por Taylor...

g x = ∑ m = 0 ∞ c m x m

Onde

c n = g n 0 n !

Então...

g 15 0 = c 15 ⋅ 15 !

No caso c 15 , é o termo que acompanha o x 15 na série

g x = ∑ m = 0 ∞ - 1 m 1 2 m + 1 4 m + 1 x 4 m + 1

Como não possui esse termo, já que 4 m + 1 = 15   não possui nenhum m inteiro que satisfaz isso, significa que c 15 = 0 !

Logo...

g 15 0 = 0

Resposta

a )     ∑ m = 0 ∞ - 1 m 1 2 m + 1 4 m + 1 x 4 m + 1

b )     0

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