Questão 4: A soma da série

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n x n

para x ∈ ] - 1 ,   1 [ é:

  1. - ln ⁡ 1 - x + x 1 - x 2
  2. ln ⁡ 1 - x + x 1 - x 2
  3. - ln ⁡ 1 - x - x 1 - x 2
  4. - ln ⁡ 1 - x + x 1 - x

Passo 1

Vamos começar trabalhando um pouco com a nossa série:

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n x n →

∑ n = 1 ∞ n x n + 1 n x n   →

∑ n = 1 ∞ n x n + ∑ n = 1 ∞ 1 n x n

Show! Agora, por que fizemos essa separação? Pow, pois um termo parece muito que veio de uma derivada n x n enquanto o outro de uma integral, conseguiu ver isso? Não? Então venha comigo!

Passo 2

Se tirarmos um x da primeira série então:

x ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n   →

E aplicar à derivada e a integral ao mesmo tempo...

x ⋅ d d x ∫ ∑ n = 1 ∞ n x n - 1   d x + ∫ d d x ∑ n = 1 ∞ x n n   d x

Perceba que não alteramos em nada, já que uma operação cancelando a outra, ou seja a derivada cancela a integral na primeira e a integral cancela a derivada no segundo somatório. Podemos jogar o somatório para fora dos parênteses invertendo a posição entre integral e série no primeiro caso e entre derivada e série no segundo:

x ⋅ d d x ∑ n = 1 ∞ ∫ n x n - 1   d x + ∫ ∑ n = 1 ∞ d d x x n n   d x

E agora, ao integrar o primeiro termo e derivar o segundo, ficaremos...

x ⋅ d d x ∑ n = 1 ∞ x n + ∫ ∑ n = 1 ∞ x n - 1   d x   →

Sabe qual é o legal de fazer isso? É que nós conhecemos essa série aqui:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x   →  

Ou ainda, colocando a série começando de 1 ...

1 + ∑ n = 1 ∞ x n = 1 1 - x             →               ∑ n = 1 ∞ x n = 1 1 - x - 1

Sendo assim:

x ⋅ d d x ∑ n = 1 ∞ x n + ∫ ∑ n = 1 ∞ x n - 1   d x     →

x ⋅ d d x 1 1 - x - 1 + ∫ ∑ n = 1 ∞ x n - 1   d x  

Agora quem é a série de x n - 1 ?

Passo 3

Pow, a gente pode transformar esse x n - 1 em um x n (que é o que a gente sabe). Como fazemos isso? Acertou se falou mudança de variável. Se não acertou, não fique triste! Venha comigo:

Como queremos x elevado a alguém sem aquele 1 , fazemos a mudança:

n - 1 = m

Substituindo então no somatório:

∑ n = 1 ∞ x n - 1 = ∑ m + 1 = 1 ∞ x m =

∑ m = 0 ∞ x m

Como m é só um nome, podemos voltar a chama-lo de n :

∑ m = 0 ∞ x m = ∑ n = 0 ∞ x n

Viu só? E quem é essa série? Isso mesmo:

1 1 - x

Passo 4

Substituindo o resultado desse último passo na igualdade que havíamos parado lá em cima:

x ⋅ d d x 1 1 - x - 1 + ∫ ∑ n = 1 ∞ x n - 1   d x     →

Chegamos aqui:

x ⋅ d d x 1 1 - x - 1 + ∫ 1 1 - x   d x

Agora é só derivar e integrar mesmo! Bora?

Passo 5

Primeiro vamos derivar:

d d x 1 1 - x - 1

Ora, a derivada de constante é 0 , então só temos que derivar esse termo aqui:

d d x 1 1 - x

Aplicando a regra da fração:

d d x 1 1 - x = 1 ' 1 - x - 1 1 - x ' 1 - x 2   →

Como a derivada de 1 é 0 ...

d d x 1 1 - x = - 1 - x ' 1 - x 2     →

d d x 1 1 - x = - - 1 1 - x 2     →

d d x 1 1 - x = 1 1 - x 2  

Passo 6

Agra, vamos calcular aquela integral lá:

∫ 1 1 - x   d x →

Poxa, essa integral é direta, neh? E vale:

- ln ⁡ 1 - x + C

O sinal na frente do l n é apenas porque se se derivar, aparece o - 1 da frente do x . Show, mas agora temos que determinar essa constante C !

Passo 7

O resultado da nossa série é o seguinte: É a soma do resultado da derivada com o da integral...

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n x n = - ln ⁡ 1 - x + x 1 - x 2 + C           →

Só que é essa constante C ? É a constante que surge quando integramos certo? Mas você sabia que tem como de conhecer tal constante? Basta a gente saber um valor da série para um dado x conhecido! Qual é o x mais bacana de todos que nos dá uma série conhecida?

x = 0

Pois:

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n x n = ∑ n = 1 ∞ 0 = 0

Saca?

Então...

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n x n = - ln ⁡ 1 - x + x 1 - x 2 + C           →

Substituindo...

∑ n = 1 ∞ 0 = - ln ⁡ 1 + 0 1 2 + C           →

Como ln ⁡ 1 = 0 ...

0 = C           →           o u       →       C = 0

Então a resposta é simplesmente:

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n x n = - ln ⁡ 1 - x + x 1 - x 2  

Resposta

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n x n = - ln ⁡ 1 - x + x 1 - x 2  

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