Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

A soma da série

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1

é:

a sen ⁡ 1

b π 4

c ln ⁡ 2

d arctan ⁡ 1 2

Passo 1

Cara, essa série é muito parecida com uma famosa série de Maclaurin! Dá só uma olhada nela:

arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Mas po, ele só muda por causa daquele x ali. Então se a gente colocar x = 1 dos dois lados, ficamos com o que queremos:

arctan ⁡ ( 1 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 2 n + 1

arctan ⁡ 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1

Sendo que:

arctan ⁡ 1 = π 4

Então:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 = π 4

Bizarro a gente ter que lembrar disso né?! Mas acontece direto, então fica esperto!

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Resposta

b π 4

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