Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Passo 1

Para esse exercício, precisamos lembrar da identidade trigonométrica de sen 2 ⁡ x

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos lembrar da série do c o s ⁡ ( x ) que vimos antes.

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Para fazer c o s ⁡ ( 2 x )

cos ⁡ 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 x ) 2 n 2 n !

Passo 3

Agora basta aplicar isso na identidade trigonométrica

sen 2 ⁡ x = 1 2 - 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 x ) 2 n 2 n !

Podemos retirar o termo quando n = 0

sen 2 ⁡ x = 1 2 1 - 1 - ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 x 2 n 2 n !    

sen 2 ⁡ x = - 1 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n ( 2 x ) 2 n 2 n !

E incluir o fator - 1 2 no somatório

sen 2 ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 2 n - 1   x 2 n 2 n !

Passo 4

Podemos fazer a substituição n = k + 1 só para a representação ficar um pouco melhor:

sen 2 ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 2 2 2 k + 1   x 2 k + 2 2 k + 2 !

E colocar o 2 fora do somatório:

sen 2 ⁡ x = 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 2 2 2 k   x 2 k + 2 2 k + 2 !

Repare que - 1 k + 2 = - 1 k . Então:

sen 2 ⁡ x = 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 2 k   x 2 k + 2 2 k + 2 !

Passo 5

Agora vamos fazer o teste da razão para determinar o raio de convergência. Lembra dele? Temos que aplicar o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k = L

Onde R = 1 / L . Vamos aplicar isso no problema:

c k = - 1 k + 2 2 2 k + 1   2 k + 2 !

c k + 1 = - 1 k + 3 2 2 k + 3   2 k + 4 !

Então, temos o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ - 1 k + 3 2 2 k + 3   2 k + 4 !   2 k + 2 ! - 1 k + 2 2 2 k + 1   =

lim k → ∞ ⁡ - 4 2 k + 4 ( 2 k + 3 ) = 0 = L

Como R = 1 / L , temos:

R = ∞

Resposta

sen 2 ⁡ x = 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 2 k   x 2 k + 2 2 k + 2 ! ,   R = ∞

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