Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n ( x )   →   0 ]. Também encontre o raio de convergência associado.

19)

f x = cos ⁡ x ,   a = π

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos a série de Taylor centrada no valor de a dado.

Lembrando que a série de Taylor é dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Assim, basta derivarmos algumas vezes e substituir x = a .

Lembrando que nesse caso a = π .

😉

Passo 2

Seguindo com o que acabamos de mostrar no Passo 1, temos:

f x = cos ⁡ x ∴ f π = - 1

f ' x = - sin ⁡ x ∴ f ' π = 0

f ' ' x = - cos ⁡ x ∴ f ' ' π = 1

f ' ' ' x = sin ⁡ x ∴ f ' ' ' π = 0

Logo, vemos que o padrão é dado por:

  • Para derivadas pares:
  • f 2 n π = - 1 n + 1

  • Para derivadas ímpares:

f 2 n + 1 π = 0

Dessa forma, a série de Taylor é dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n π n ! x - π n ∴

f x = ∑ n = 0 ∞ f 2 n π ( 2 n ) ! x - π 2 n ∴

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 ( 2 n ) ! x - π 2 n

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 2 ( 2 n + 1 ) ! x - π 2 n + 1 - 1 n + 1 ( 2 n ) ! x - π 2 n ∴

= lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 2 n + 1 ∴

= 0

Ou seja, o raio de convergência é R = ∞ .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 ( 2 n ) ! x - π 2 n

R = ∞

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