Encontre os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin da função f x = t a n ⁡ ( 2 x ) .

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

A questão nos pede para determinarmos a expressão em série de Maclaurin de t a n ⁡ ( 2 x ) , então o primeiro passo é lembrar que a série de Maclaurin da função f x é escrita na forma:

f x = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + …

Passo 2

Aplicando a condição para f x = t a n ⁡ ( 2 x ) .

f x = 0 + d d x ( t a n ⁡ ( 2 x ) ) ( 0 ) 1 ! x + d 2 d x 2 ( t a n ⁡ ( 2 x ) ) ( 0 ) 2 ! x 2 + d 3 d x 3 ( t a n ⁡ ( 2 x ) ) ( 0 ) 3 ! x 3 + …

Avaliando as derivadas, teremos:

f x = 0 + 2 1 ! x + 0 2 ! x 2 + 16 3 ! x 3 + 0 4 ! x 4 + 512 5 ! x 5

Simplificando essa equaçãozona!

f x = 2 x + 8 3 x 3 + 64 15 x 5

Essa questão foi dificinha, né?

Vamos chegamos ao fim, ufaaa

Resposta

2 x + 8 3 x 3 + 64 15 x 5

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