Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Teste 6: Se f x = x 2 sin ⁡ 2 x 2 , então sua derivada de ordem 2020 no zero, f 2020 0 , é:

  1. 2020 ! 1009 ! 2 1009
  2. - 2020 ! 1009 ! 2 2021
  3. - 2 1008 2020 !
  4. 2 1009

Passo 1

Bem, calcular essas derivadas está fora de questão então que tal encontrar tal valor utilizando a séries de potência? Já conhecemos a série do seno, vamos tentar representar f x ...

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Uma boa neh? Então vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo primeiro o x por 2 x 2 no seno...

sin ⁡ 2 x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 x 2 2 n + 1 2 n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 x 4 n + 2 2 n + 1 !

Multiplicando por x 2 ...

x 2 sin ⁡ 2 x 2 = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 x 4 n + 2 2 n + 1 !   →

x 2 sin ⁡ 2 x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 x 4 n + 4 2 n + 1 !  

Então, a série que representa f é...

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 2 n + 1 ! x 4 n + 4

Passo 3

Perfeito! Agora, sabemos que conhecendo esse termo da série, a gente conhece qualquer derivada no ponto 0 , pois de acordo com a teoria de série de Taylor:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

No nosso caso...

f x = ∑ n = 0 ∞ f 4 n + 4 0 4 n + 4 ! x 4 n + 4

Logo, a derivada de ordem 2020 tem n igual a...

4 n + 4 = 2020 →

n = 504

Como por comparação

f 4 n + 4 0 4 n + 4 ! = - 1 n 2 2 n + 1 2 n + 1 !   →

Substituindo esse n ...

f 2020 0 2020 ! = - 1 504 2 2 504 + 1 2 504 + 1 !   →

f 2020 0 2020 ! = 2 1009 1009 !   →

f 2020 0 = 2020 ! 2 1009 1009 !  

Resposta

a )   2020 ! 1009 ! 2 1009

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