Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Sabendo que a série de Taylor em torno de x = 0 da função e x é ∑ n = 0 ∞ x n n ! , encontre uma representação em série de potências em torno de x = 0 da função f x = ∫ 0 x e t - 1 t d t

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é resolver aquela integral para conseguirmos ver qual é a nossa função objetivo.

∫ 0 x e t - 1 t d t

Sabemos que representamos a série de Taylor da função g t = e t como:

g t = ∑ n = 0 ∞ t n n !

Então podemos escrever nossa integral da seguinte forma:

∫ 0 x e t - 1 t d t →   ∫ 0 x 1 + t + t 2 2 ! + t 3 3 ! + t 4 4 ! + … - 1 t d t = ∫ 0 x 1 + t 2 ! + t 2 3 ! + t 3 4 ! + … d t

Agora já conseguimos resolver a integral mais facilmente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo a integral:

∫ 0 x 1 + t 2 ! + t 2 3 ! + t 3 4 ! + … d t = t + t 2 2.2 ! + t 3 3.3 ! + t 4 4.4 ! + … 0 x = x + x 2 2.2 ! + x 3 3.3 ! + …

E então, teremos:

f x = x + x 2 2.2 ! + x 3 3.3 ! + …

Agora, para fazer a representação em série, podemos escrever os termos da seguinte maneira (seguindo o padrão):

f x = ∑ n = 1 ∞ 1 n . n ! x n

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 1 n . n ! x n

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