(Capítulo 11.10 – Exercício 7) Encontre a sére de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = s e n π x

Passo 1

Vamossss pra mais uma questão de séries 😊

Aqui vamos ter uma função f ( x ) , e aí queremos escrever essa função no formato da série de Maclaurin.

Só pra relembrar, a série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Onde f n 0 é a n-ésima derivada no ponto 0

Então vamos lá

Passo 2

Temos a função

f x = s e n ( π x )

Vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0 , para aí reconhecermos se ela tem algum padrão na derivada, algum loop que acontece, enfim hehehe

Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n:

Legal, já temos algumas derivadas para os primeiros valores de n , agora vamos colocar isso no formato da série de Maclaurin

Passo 3

Podemos escrever f ( x ) como:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

s e n ( π x ) = f 0 + f ' 0 x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' ' 0 3 !   x 3 + f 4 ( 0 ) 4 ! x 4 + f 5 ( 0 ) 5 ! x 5 + ⋯  

Substituindo as derivadas que encontramos no passo 2, temos

s e n ( π x ) = 0 + π x + 0 - π 3 3 ! x 3 + 0 + π 5 5 ! x 5 + ⋯

s e n π x = π x - π 3 3 ! x 3 + π 5 5 ! x 5 + ⋯

Opa, então só temos termos ímpares nessa expansão, repara só: 1, 3, 5, 7, ...

Então, vamos sempre escrever os termos dessa série como um número par+1, porque isso sempre vai dar um número ímpar

Além disso, como o sinal vai trocando, vamos colocar também um - 1 n , que a cada n consecutivo ele vai alternando entre positivo e negativo

Então, podemos escrever:

s e n π x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1  

Achaaaamos a série, ihuuuu

Agora só falta o raio de convergência dela

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Passo 4

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

∑ c n . x - a n

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado L

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E aí o nosso raio de convergência R vai ser

R = 1 L

Fechou?

Sabendo que nossa série de potências é

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1  

, temos que o termo que gera a potência é o x 2 n + 1 , enquanto o c n que multiplica ele é:

c n = - 1 n π 2 n + 1 2 n + 1 !

Então vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

Temos c n + 1 = - 1 n + 1 π 2 n + 2 2 n + 2 ! , então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n . ( - 1 ) π 2 n + 2 2 n + 2 ! - 1 n π 2 n + 1 2 n + 1 !

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - π 2 n + 1 . π 2 n + 2 ! π 2 n + 1 2 n + 1 !

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - π 2 n + 1 . π 2 n + 2 ! . 2 n + 1 ! π 2 n + 1

Cortando os termos comuns em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - π . 2 n + 1 ! 2 n + 2 . 2 n + 1 !

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - π 2 n + 2

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = 0

Então, o raio de convergência é

R = 1 L → 0 = ∞

E fimmmm

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1  

R → ∞

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