8) Qual é a expressão em Série de MacLaurin de x cos ⁡ 2 x ?

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos achar a série de MacLaurin de x cos ⁡ 2 x .

E pra isso, vamos lembrar que a sério de Taylor de uma função qualquer f x   é :

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

E que a série de MacLaurin é o caso quando a série de Taylor tem a = 0 . Então queremos achar

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Passo 2

Vamos achar essa n-ésima derivada. Com f x = x cos ⁡ 2 x

Temos :

f ' x = cos ⁡ 2 x - 2 x sen ⁡ 2 x → f ' 0 = 1

f ' ' x = - 2 sen ⁡ 2 x - 2 sen ⁡ 2 x - 4 cos ⁡ 2 x

=   - 4 sen ⁡ 2 x + x cos ⁡ 2 x → f ' ' 0 = - 4

f ' ' ' x = - 4 - 2 cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x - 2 x sen ⁡ 2 x

= - 4 ( - 2 cos ⁡ 2 x - 2 x sen ⁡ 2 x → f ' ' ' 0 =   8

Daí achamos o padrão:

f n = - 1 n 2 n

E a série de MacLaurin é:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n n ! x n

Acabamos essa quest��o. Vamos pra próxima?

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n + 1 2 n !

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