Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n ( x )   →   0 ]. Também encontre o raio de convergência associado.

16)

f x = 1 x ,   a = - 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos a série de Taylor centrada no valor de a dado.

Lembrando que a série de Taylor é dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Assim, basta derivarmos algumas vezes e substituir x = a .

Lembrando que nesse caso a = - 3 .

😉

Passo 2

Seguindo com o que acabamos de mostrar no Passo 1, temos:

f x = 1 x ∴ f - 3 = - 1 3

f ' x = - 1 x 2 ∴ f ' - 3 = - 1 3 2

f ' ' x = 2 x 3 ∴ f ' ' - 3 = - 2 3 3

f ' ' ' x = - 3 ! x 4 ∴ f ' ' ' - 3 = - 3 ! 3 4

Logo, vemos que o padrão é dado por:

f n - 3 = - n ! 3 n + 1

Dessa forma, a série de Taylor é dada por:

f x = - ∑ n = 0 ∞ f n - 3 n ! x + 3 n ∴

f x = - ∑ n = 0 ∞ - n ! 3 n + 1 n ! x + 3 n ∴

f x = - ∑ n = 0 ∞ x + 3 n 3 n + 1

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x + 3 n + 1 3 n + 2 x + 3 n 3 n + 1 ∴

= lim n → ∞ ⁡ x + 3 3   ∴

= x + 3 3 < 1 ∴

x + 3 < 3 ∴

R = 3

Ou seja, o raio de convergência é R = 3 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = - ∑ n = 0 ∞ x + 3 n 3 n + 1

R = 3

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