(Capítulo 11.10 – Exercício 10) Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = x e x

Passo 1

E aeeee galera, vamos lá pra mais uma?

Aqui vamos ter uma função f ( x ) , e aí queremos escrever essa função no formato da série de Maclaurin.

Só pra relembrar, a série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Onde f n 0 é a n-ésima derivada no ponto 0

Então vamos lá

Passo 2

Temos a função

f x = x . e x

Vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0 , para aí reconhecermos se ela tem algum padrão na derivada, algum loop que acontece, enfim hehehe

f x = x e x ⇒ f 0 = 0

f ' x = e x + x e x ⇒ f ' 0 = 1

f ' ' x = e x + e x + x e x = 2 e x + x e x ⇒ f ' ' 0 = 2

f ' ' ' x = 2 e x + e x + x e x = 3 e x + x e x ⇒ f ' ' ' 0 = 3

f ' ' ' ' x = 3 e x + e x + x e x = 4 e x + x e x ⇒ f ' ' ' ' ( 0 ) = 4

Podemos perceber o padrão, de forma geral f n 0 = n .

Passo 3

Show, então a série para a função é

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Para a função que estamos trabalhando nesse exercício, encontramos f n 0 = n , então

f x = ∑ n = 0 ∞ n n ! x n

f x = ∑ n = 0 ∞ n n . n - 1 ! x n

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 n - 1 ! x n

Uhuuuu, encontramos a série, agora vamos encontrar o raio de convergência

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Passo 4

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

∑ c n . x - a n

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado L

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E aí o nosso raio de convergência R vai ser

R = 1 L

Fechou?

Sabendo que nossa série de potências é

∑ n = 0 ∞ 1 n - 1 ! x n

, temos que o termo que gera a potência é o x n , enquanto o c n que multiplica ele é:

c n = 1 n - 1 !

Então vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

Temos c n + 1 = 1 n - 1 + 1 ! = 1 n ! , então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 n ! 1 n - 1 !

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 n . n - 1 ! . n - 1 ! 1

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 n

Então, o raio de convergência é

R = 1 L → 0 = ∞

Ou seja: a série converge para todo x

E fimmmm

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ x n ( n - 1 ) !

R = ∞

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