1. Seja f : R + → R uma função infinitamente derivável. Suponha que a série de Taylor da f centrada em a = 2 seja dada pela série ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n 2 n n    
  1. Ache a expressão para f n ( 2 ) e determine o valor de f 10 ( 2 ) . (Lembre-se> f ( n ) é a n-ésima derivada da f , ou seja, derivamos n vezes a f .)

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

O problema nos deu essa série doida aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n 2 n n    

Bom... o problema nos fala que essa série é a série de Taylor centrada em a = 2 . Tá... e daí?

Ele tá pedindo sobre derivadas de ordem n , que que isso tem a ver??

Olha só, lembra do seguinte... Se a gente tem uma função f ( x ) a gente pode usar uma série de Taylor para representar essa função em torno de algum ponto a através de suas derivadas usando essa fórmula aqui:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n  

HEHEHE!

O que a gente vai fazer é usar essa definição e comparar com a série que a gente tem para ver estipular as derivadas da função! Vem comigo que a gente vai entender esse processo na prática😊

Partiu!!

Passo 2

A série de Taylor da função f ( x ) que a gente tem centrada em a = 2 fica com essa cara aqui:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 2 n ! x - 2 n  

Bom, se a gente supor que f ( 2 ) ou melhor f 0 2 é igual a zero, a gente pode escrever essa série como: f x = ∑ n = 1 ∞ f n 2 n ! x - 2 n    

No fundo quando tivermos n = 0 vamos ter 0 na série e então podemos começar a série em n = 1 certo?

Eu fiz isso porque agora a gente pode igualar essa série com a série que o problema nos dá:

∑ n = 1 ∞ f n 2 n ! x - 2 n   =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n 2 n n    

Comparando os termos que estão dentro do somatório temos o seguinte: f n 2 n ! = - 1 n - 1 2 n n

Lembrando que n ! = n n - 1 n - 2 ⋯ temos que a derivada n-ésima da função em x = 2 é dada por: f n 2 = - 1 n - 1 n - 1 ! 2 n

Maravilha!!

Passo 3

Agora que temos uma fórmula para f ( n ) podemos calcular qualquer derivada de ordem n apenas substituindo o valor de n . Como queremos f ( 10 ) temos:

f 10 2 = - 1 10 - 1 10 - 1 ! 2 10 = - 1 9 × 9 ! 2 10

f 10 2 =   - 9 ! 2 10 ≈ - 354 , 4  

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

f n 2 = - 1 n - 1 n - 1 ! 2 n f 10 2 =   - 9 ! 2 10

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Taylor de f centrada em 4 se f n 4 = - 1 n n ! 3 n n + 1 Qual é o raio de convergência da série de Taylor?
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência. 1 1 + x 4
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência. 1 + x
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada. f x = sen ⁡ π x