Mostre que a série de Taylor de f : ℝ → ℝ definida por f ( x ) = c o s ( x ) em torno de x 0 = π converge para f .

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nós temos que verificar se a série de Taylor da função

f ( x ) = c o s ( x )

definida tal que f : ℝ → ℝ , converge para f . A série de Taylor é definida como

f ( x ) ≈ ∑ n = 1 ∞ a n ( x - x 0 ) n

em que

a n = 1 n ! d n f ( x ) d x n | x = x 0

em nosso caso temos que x 0 = π . Para verificar essa convergência vamos ter que calcular o raio de convergência da série que iremos obter! Isso dependerá muito do formato do nosso resultado, então vamos partir daqui! Belezinha? Bora lá!

Passo 2

A nossa função é bastante simples, portanto, podemos usar que

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

e, portanto

d 2 d x 2 [ c o s ( x ) ] = - d d x [ s e n ( x ) ] = -   c o s ( x )

e, então

d 3 d x 3 [ c o s ( x ) ] = - d d x [ c o s ( x ) ] = s e n ( x )

de forma que retornamos à

d 4 d x 4 [ c o s ( x ) ] = d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

Note que quando avaliarmos em x = π , obtemos que

d d x [ c o s ( x ) ] = 0 , d 2 d x 2 [ c o s ( x ) ] = 1 , d 3 d x 3 [ c o s ( x ) ] = 0 e d 4 d x 4 [ c o s ( x ) ] = - 1

esse padrão irá se repetir, portanto, temos que os únicos termos não nulos de nossa série são os de coeficientes pares, e eles resultam em um sinal alternado, nossa série será tal que

f ( x ) ≈ ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) 2 m + 1 ( x - π ) 2 m

que é uma série alternada! Vamos verificar a sua convergência!

Passo 3

O teste da série alternada nos indica que se temos uma série no formato

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n a n , em que a n ≥ 0

então a série é convergente se | a n + 1 | ≤ | a n | e a n → 0 , n → ∞ . Isso limita os valores de x para os quais a nossa série de Taylor converge! Vamos reescrever um pouco a série original, temos que

f ( x ) ≈ ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) 2 m + 1 ( x - π ) 2 m

Nós queremos isolar o termo alternado e o termo a m , portanto, vamos usar que n = 2 m + 1 , portanto, quando m = 0 , temos que n = 1 e no infinito, temos que n → ∞ , portanto, obtemos

f ( x ) ≈ ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n ( x - π ) n - 1 = 1 ( x - π ) ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n ( x - π ) n

com esse formato podemos identificar que a n = ( x - π ) n . Qual será a condição para x para que a série seja convergente! Saca só!

Precisamos que a série seja decrescente, e que o limite vá a zero, ou seja, precisamos que | x - π | < 1 , ou simplesmente - 1 < x - π < 1 , ou simplesmente

π - 1 < x < 1 + π

Se tivermos que x ∈ [ π - 1 ,   1 + π ] temos que a nossa série de Taylor converge para f ( x ) , e apenas sob essas condições, portanto, em x = x 0 = π , a série converge! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

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